Библиотека знаний · Алгебра · Подготовка к ЕГЭ

Метод интервалов: как расставлять знаки и решать неравенства

Метод интервалов помогает решать неравенства без громоздкого перебора случаев. Вы отмечаете важные точки и определяете знак выражения между ними. Затем выбираете подходящие промежутки.

Сложности обычно начинаются со знаков и скобок в ответе. Через одну точку знак меняется, через другую сохраняется. Некоторые точки нужно исключить даже после сокращения дроби.

Разберём алгоритм и шесть примеров. Отдельно проверим кратность корней, нули знаменателя и потерянные ограничения.

Как работает метод интервалов

Рассмотрим рациональное выражение: многочлен или дробь из многочленов. После разложения на множители находим нули числителя и знаменателя. Эти точки делят числовую прямую на промежутки.

Внутри каждого такого промежутка знак выражения постоянен. Поэтому достаточно проверить одну подходящую точку. Числитель и знаменатель здесь не обращаются в ноль.

Например, выражение \((x-2)(x+3)\) меняет знак только в точках \(-3\) и \(2\). Получаются три промежутка. На каждом можно определить свой знак.

Не начинайте с механического чередования плюсов и минусов. Сначала проверьте множители и их степени. Правило смены знака зависит от кратности точки.

Алгоритм решения неравенства методом интервалов

Запишите ограничения. Знаменатель исходного выражения не должен равняться нулю.
Перенесите всё в одну сторону. Справа оставьте ноль.
Разложите выражение на множители. Учитывайте общий коэффициент и степени.
Отметьте нули числителя и знаменателя. Расположите точки по возрастанию.
Определите знаки на промежутках. Используйте пробные значения или правило кратности.
Выберите нужные промежутки. Затем отдельно проверьте каждую граничную точку.
Запишите ответ с учётом исходной области определения. Сокращение дроби не отменяет её ограничений.

Для строгого неравенства нужны только положительные или отрицательные значения. Для нестрогого подходят также нули выражения. Нули знаменателя не подходят никогда.

Как расставлять знаки методом интервалов

Самый надёжный способ - подставить число из каждого промежутка. Считать точное значение выражения не обязательно. Достаточно определить знаки множителей.

Есть и более быстрый приём. Проверьте знак на одном промежутке. Затем двигайтесь через отмеченные точки.

При нечётной кратности знак меняется.
При чётной кратности знак сохраняется.
Правило работает для множителей числителя и знаменателя.

Если одинаковый множитель встречается сверху и снизу, сохраните исходные ограничения. После сокращения определяйте знаки упрощённого выражения. Исключённую точку всё равно отметьте на прямой.

Метод интервалов: примеры с решениями

Пример 1. Произведение двух линейных множителей

\[(x-2)(x+3)>0.\]

Знаменателя нет. Выражение определено при всех действительных значениях \(x\). Нули: \(x=-3\) и \(x=2\).

Справа от двойки оба множителя положительны. Значит, произведение положительно. Обе точки имеют нечётную кратность, поэтому знаки чередуются.

Знак произведения на промежутках
Промежуток	\((-\infty;-3)\)	\((-3;2)\)	\((2;+\infty)\)
Знак	+	−	+

Выбираем промежутки со знаком плюс. Точки \(-3\) и \(2\) исключаем: неравенство строгое.

\[\text{Ответ: }x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).\]

Пример 2. Дробное неравенство

\[\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\le0.\]

Сначала записываем ограничение: \(x\ne3\). Затем отмечаем точки \(-2\), \(1\) и \(3\).

При \(x>3\) все множители положительны. Через каждую отмеченную точку знак меняется.

Знак дроби на промежутках
Промежуток	\((-\infty;-2)\)	\((-2;1)\)	\((1;3)\)	\((3;+\infty)\)
Знак	−	+	−	+

Нужны отрицательные значения и нули. Поэтому \(-2\) и \(1\) включаем. Тройку исключаем: в ней знаменатель равен нулю.

\[\text{Ответ: }x\in(-\infty;-2]\cup[1;3).\]

Пример 3. Чётная кратность и отдельная точка в ответе

\[(x+1)^2(x-4)\ge0.\]

Нули выражения: \(-1\) и \(4\). У точки \(-1\) кратность равна двум. Поэтому знак при переходе через неё сохраняется.

Если \(x\ne-1\), квадрат \((x+1)^2\) положителен. Значит, знак произведения определяется множителем \(x-4\). Он отрицателен слева от четвёрки и положителен справа.

Но в точке \(x=-1\) произведение равно нулю. Нестрогое неравенство разрешает ноль. Поэтому эта отдельная точка тоже входит в ответ.

\[\text{Ответ: }x\in\{-1\}\cup[4;+\infty).\]

Здесь легко потерять решение. Если отмечать только положительные промежутки, точка \(-1\) останется незамеченной.

Пример 4. Сокращение дроби не возвращает запрещённую точку

\[\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}\ge0.\]

Исходное ограничение: \(x\ne2\). При этом условии дробь сокращается. Получаем \(x+1\ge0\), то есть \(x\ge-1\).

Двойка удовлетворяет последнему неравенству. Однако исходная дробь при \(x=2\) не существует. Поэтому двойку вырезаем из найденного промежутка.

\[\text{Ответ: }x\in[-1;2)\cup(2;+\infty).\]

Пример 5. Дроби сначала нужно собрать в одной части

\[\frac1{x-1}\ge\frac2{x+2}.\]

Ограничения: \(x\ne1\) и \(x\ne-2\). Переносим правую часть влево. Приводим дроби к общему знаменателю.

\[\frac{x+2-2(x-1)}{(x-1)(x+2)}\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{4-x}{(x-1)(x+2)}\ge0.\]

Отмечаем точки \(-2\), \(1\) и \(4\). Справа от четвёрки числитель отрицателен, знаменатель положителен. Значит, на крайнем правом промежутке стоит минус.

Далее знаки чередуются. Дробь положительна при \(x<-2\) и \(1<x<4\). Четвёрку включаем как ноль числителя.

\[\text{Ответ: }x\in(-\infty;-2)\cup(1;4].\]

Почему нельзя сразу умножить обе части на знаменатели? Их знаки зависят от \(x\). При отрицательном множителе направление неравенства придётся менять.

Пример 6. Минус перед дробью и разные кратности

\[\frac{-2(x-3)^3(x+1)^2}{(x+4)^2}>0.\]

Ограничение: \(x\ne-4\). Отмечаем точки \(-4\), \(-1\) и \(3\).

При \(x>3\) все степени положительны. Коэффициент \(-2\) делает дробь отрицательной. Через тройку знак меняется: степень множителя равна трём.

Через \(-1\) знак сохраняется из-за квадрата в числителе. Через \(-4\) он тоже сохраняется: знаменатель имеет чётную степень.

Остаётся проверить сами точки. Минус один исключаем из-за строгого знака. Минус четыре запрещён областью определения, тройка даёт ноль.

\[\text{Ответ: }x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-1)\cup(-1;3).\]

Какие точки включать в ответ

Знаки на промежутках и включение границ проверяйте отдельно. Это две разные задачи.

Ноль числителя: включается при \(\le\) или \(\ge\), если выражение определено.
Ноль знаменателя: всегда исключается из ответа.
Строгое неравенство: нули выражения в ответ не входят.

Чётная кратность не означает, что точку нужно исключить. Она говорит только о сохранении знака. Включение точки зависит от неравенства и области определения.

Пять ошибок при решении методом интервалов

Чередовать знаки через все точки. Сначала проверьте чётность степеней.
Включать ноль знаменателя при нестрогом знаке. Такое значение всё равно запрещено.
Забывать ограничение после сокращения. Держите исходную область определения перед глазами.
Терять отдельный ноль числителя. Проверьте каждый корень при нестрогом неравенстве.
Игнорировать отрицательный коэффициент. Он меняет все знаки выражения на противоположные.

Проверьте себя: пять заданий

Сначала решите самостоятельно. Затем откройте ответы и сравните границы промежутков.

\((x-5)(x+2)\le0\).
\(\dfrac{(x-3)(x+1)}{x+4}>0\).
\((x+2)^2(x-3)<0\).
\(\dfrac{x^2-9}{x-3}\le0\).
\(\dfrac{x-1}{x+2}\ge1\).

Открыть ответы и короткую проверку

1. \([-2;5]\). Подходит промежуток между двумя корнями вместе с границами.

2. \((-4;-1)\cup(3;+\infty)\). Все три отмеченные точки исключаются.

3. \((-\infty;-2)\cup(-2;3)\). В точке \(-2\) знак сохраняется, но ноль исключён.

4. \((-\infty;-3]\). После сокращения получаем \(x+3\le0\) при \(x\ne3\).

5. \((-\infty;-2)\). После переноса получаем \(-3/(x+2)\ge0\).

Частые вопросы о методе интервалов

С какого знака начинать?

Сначала подставьте удобное число в один из промежутков. Не ставьте плюс справа автоматически. Отрицательный коэффициент может изменить результат.

Когда знаки не чередуются?

При переходе через точку чётной кратности знак сохраняется. Это касается и числителя, и знаменателя.

Можно ли сокращать одинаковые множители?

Да, если сохранить ограничения исходной дроби. Запрещённое значение не становится допустимым после сокращения.

Как применять этот навык дальше

Метод интервалов нужен и после преобразования более сложных неравенств. Следующий шаг - логарифмические неравенства с ОДЗ и рационализацией. Там особенно важно сохранить исходные ограничения.

Для системной подготовки посмотрите курс профильной математики «Прорыв». Выбирайте темы по своим пробелам и закрепляйте каждый приём задачами.

Все примеры составлены для статьи. Это учебные задания, а не цитаты из экзаменационного варианта.