Библиотека знаний · ЕГЭ профиль

Логарифмические неравенства: ОДЗ, рационализация и примеры

Логарифмические неравенства проще решать по понятному алгоритму. Сначала проверяем область определения, затем смотрим на основание. Разберём шесть примеров и закрепим приём самостоятельной тренировкой.

Самая частая ошибка возникает ещё до вычислений. Ученик убирает логарифмы и забывает проверить, существуют ли они.

Вторая ловушка связана с основанием. При основании меньше единицы знак неравенства меняется. Если основание содержит переменную, одного правила «убрать логарифмы» недостаточно.

ОДЗ логарифмического неравенства: что проверить первым

Логарифм определён при двух ограничениях на основание. Оно должно быть положительным и отличаться от единицы. Аргумент логарифма тоже должен быть положительным.

\[\log_{a(x)}f(x):\quad a(x)>0,\quad a(x)\ne1,\quad f(x)>0.\]

Это условия существования выражения. Они ещё не являются решением самого неравенства.

Если логарифмов несколько, проверьте каждый аргумент отдельно. После преобразований сохраняйте исходные ограничения до записи ответа.

Не объединяйте аргументы раньше ОДЗ.

Положительное произведение не гарантирует положительность каждого множителя. Поэтому область определения суммы логарифмов может быть уже.

\[\log_2(x-1)+\log_2(x-3):\quad x>3.\]

Условие \((x-1)(x-3)>0\) само по себе сюда не подходит.

Когда нужно менять знак неравенства

При одинаковых основаниях сравнивают аргументы. Направление сравнения зависит от основания.

Основание больше единицы

Логарифмическая функция возрастает. Поэтому направление знака сохраняется.

\[a>1:\quad \log_a f(x)>\log_a g(x)\iff f(x)>g(x).\]

Основание между нулём и единицей

Теперь функция убывает. Значит, направление знака нужно изменить.

\[0<a<1:\quad \log_a f(x)>\log_a g(x)\iff f(x)<g(x).\]

Оба перехода работают при положительных аргументах. Строгость знака сохраняется: строгий остаётся строгим, нестрогий остаётся нестрогим.

Как решать логарифмические неравенства: алгоритм

Запишите ограничения для всех логарифмов.
Определите, постоянное основание или переменное.
Выберите равносильное преобразование.
Решите полученное алгебраическое неравенство.
Пересеките результат с исходной ОДЗ.
Проверьте включение граничных точек.

Не торопитесь со скобками в ответе. Точка может удовлетворять преобразованному неравенству, но нарушать область определения.

Следующие примеры составлены для этой статьи. Это учебные задачи, а не цитаты из официального варианта.

Логарифмические неравенства: примеры с решениями

Пример 1. Постоянное основание больше единицы

\[\log_2(x-1)\le3.\]

ОДЗ: \(x-1>0\), поэтому \(x>1\).

Представим тройку как логарифм: \(3=\log_2 8\). Основание больше единицы, поэтому знак сохраняем.

\[x-1\le8\quad\Longrightarrow\quad x\le9.\]

Пересекаем результат с ОДЗ. Ответ: \(x\in(1;9]\).

Пример 2. Основание меньше единицы

\[\log_{1/3}(x+2)>-1.\]

ОДЗ: \(x+2>0\), то есть \(x>-2\).

Число справа представим как \(-1=\log_{1/3}3\). При основании между нулём и единицей меняем направление знака.

\[x+2<3\quad\Longrightarrow\quad x<1.\]

Ответ: \(x\in(-2;1)\). При \(x=1\) получилось бы равенство, поэтому точку исключаем.

Пример 3. Сумма логарифмов

\[\log_2(x-1)+\log_2(x-3)\le3.\]

Сначала проверяем оба аргумента. Получаем ОДЗ: \(x>3\).

На этой области объединяем логарифмы. Основание больше единицы, поэтому получаем:

\[(x-1)(x-3)\le8,\]

\[x^2-4x-5\le0\iff(x-5)(x+1)\le0.\]

Алгебраическое неравенство даёт отрезок \([-1;5]\). После пересечения с ОДЗ остаётся \((3;5]\).

Ответ: \(x\in(3;5]\). Левая граница открытая: логарифм нуля не определён.

Пример 4. Квадратное неравенство относительно логарифма

\[(\log_2x)^2-3\log_2x+2\ge0.\]

ОДЗ: \(x>0\). Введём замену \(t=\log_2x\).

\[t^2-3t+2\ge0\iff(t-1)(t-2)\ge0.\]

Отсюда \(t\le1\) или \(t\ge2\). Возвращаемся к переменной \(x\).

\[\log_2x\le1\quad\text{или}\quad\log_2x\ge2.\]

Получаем \(x\le2\) или \(x\ge4\). Учитываем область определения.

Ответ: \(x\in(0;2]\cup[4;+\infty)\).

Метод рационализации логарифмических неравенств

Рационализация заменяет сравнение логарифмов алгебраическим условием. При этом учитывается изменение основания относительно единицы.

При одинаковом основании \(a(x)\) на ОДЗ справедливо:

\[\log_{a(x)}f(x)>\log_{a(x)}g(x)\]

\[\iff\bigl(a(x)-1\bigr)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)>0.\]

Если основание больше единицы, оба сравнения направлены одинаково. При основании меньше единицы направления противоположны. Множитель \(a(x)-1\) учитывает оба случая.

Рационализация не отменяет ОДЗ.

Условия положительности аргументов и ограничения основания сохраняются. Нельзя применять эту запись к логарифмам с разными основаниями напрямую.

Пример 5. Переменное основание и два промежутка

\[\log_x(2x-1)>1.\]

Для основания нужны \(x>0\) и \(x\ne1\). Для аргумента нужно \(2x-1>0\).

Вместе получаем \(x>\tfrac12\), \(x\ne1\). На ОДЗ заменяем единицу на \(\log_xx\).

\[(x-1)\bigl((2x-1)-x\bigr)>0,\]

\[(x-1)^2>0.\]

Квадрат положителен при \(x\ne1\). Значит, подходит вся исходная ОДЗ.

Ответ: \(x\in(\tfrac12;1)\cup(1;+\infty)\).

Пример 6. ОДЗ упрощает переменное основание

\[\log_{x+1}(x^2-1)\ge1.\]

Из основания: \(x>-1\), \(x\ne0\). Из аргумента: \(x<-1\) или \(x>1\).

Пересечение даёт ОДЗ: \(x>1\). Здесь основание уже больше единицы.

\[x^2-1\ge x+1\iff(x-2)(x+1)\ge0.\]

Решение алгебраического неравенства: \(x\le-1\) или \(x\ge2\). После пересечения с ОДЗ остаётся правая часть.

Ответ: \(x\in[2;+\infty)\).

Ошибки, которые стоит проверить в своём решении

Аргумент приравнен к нулю и включён в ответ.
При основании меньше единицы знак не изменён.
Условия для основания с переменной забыты.
Сумма логарифмов объединена до проверки аргументов.
Ответ после замены записан для вспомогательной переменной.
Полученные промежутки не пересечены с исходной ОДЗ.

Проверка одной точки помогает заметить ошибку в знаке. Но она не заменяет обоснование всех переходов.

Четыре задания для самостоятельной тренировки

Сначала решите задания без подсказок. Для каждого запишите ОДЗ и полный ответ.

\(\log_3(x+1)>2\).
\(\log_{1/2}(x-2)\le-2\).
\(\log_2(x-2)+\log_2x\ge3\).
\(\log_x(x+2)>1\).

Открыть ответы и короткую проверку

1. \(x\in(8;+\infty)\). На ОДЗ \(x>-1\) получаем \(x+1>9\).

2. \(x\in[6;+\infty)\). Основание меньше единицы: \(x-2\ge4\).

3. \(x\in[4;+\infty)\). При \(x>2\) получаем \(x^2-2x-8\ge0\).

4. \(x\in(1;+\infty)\). На ОДЗ рационализация даёт \(2(x-1)>0\).

Частые вопросы

Нужно ли всегда писать ОДЗ?

Да, ограничения нужно учитывать при любом способе решения. Иначе в ответ могут попасть недопустимые значения.

Можно ли сразу убрать логарифмы?

Сначала проверьте основания и аргументы. Затем применяйте соответствующий равносильный переход.

Рационализация всегда быстрее?

Нет. Иногда ОДЗ сразу фиксирует основание больше единицы. Тогда обычное сравнение аргументов проще.

Хотите разобраться с логарифмами системно?

В модуле «Логарифмы» темы разобраны от свойств до уравнений и неравенств. Можно вернуться к записи и повторить непонятный шаг.

Посмотреть модуль «Логарифмы»Подготовка к профильному ЕГЭ

Для подготовки используйте также открытый банк заданий ФИПИ. Нумерацию заданий проверяйте по документам нужного экзаменационного года.