Задача с параметром. Графический способ решения.
ЕГЭ профиль 2023

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large \left\{ \begin{matrix} (x^2-7x-y+8)\cdot\sqrt{x-y+8}=0 \\ y=ax+a\end{matrix}\right.$

Решение:

Заметим, что система определена, если

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large y \leq x+8$ .

Графиком функции

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large x^2-7x-y+8=0$

является парабола

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large y=x^2-7x+8$

ветви которой направлены вверх.

Графиком функции

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large \sqrt{x-y+8}=0$

является прямая

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large y=x+8$

Графиком функции

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large y=ax+a$

является прямая

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large y=a(x+1)$

которая при любом значении параметра a проходит через точку с координатами (-1;0).

Ровно два решения будет только в следующем случае:

Прямая y=ax+a проходит через точку А(0;8) при a=8.

Прямая y=ax+a проходит через точку B(8;16) при a=16/9.

Найдем, при каком значении параметра, прямая проходит через точку С - точку касания двух графиков функций. Для этого приравняем функции и их производные:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large \left\{ \begin{matrix} ax+a=x^2-7x+8 \\ a=2x-7 \\ x\geq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x=3 \\ a=-1 \end{matrix}\right.$

Если прямые y=ax+a и y=x+8 параллельны, система уравнений также имеет два решения. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, значит, a=1.

Запишем ответ:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large a \in \{-1;1\} \cup [\frac{16}{9};8].$

Ответ:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\large a \in \{-1;1\} \cup [\frac{16}{9};8].$

Задача с параметром. Графический способ решения.ЕГЭ профиль 2023

Задача с параметром. Графический способ решения.
ЕГЭ профиль 2023