ЕГЭ профиль № 14
Угол между плоскостями

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

Решение:











а) Проведём диагонали AC и BD, опустим высоту SO.
Соединим точки G, F и D.











SB = SD = 1 → △BSD - равнобедренный → BO = DO
«F = SF (по условию) → Точка К - точка пересечения медиан FD и SO → SK:KO = 2:1
Соединим точки A, B и G.











SA = SC = 1 → △ASC - равнобедренный → AO = CO
SG = CG (по условию) → Точка К - точка пересечения медиан AG и SO → SK:KO = 2:1

Плоскости ABG и GDF пересекаются в точках G и K

AG - прямая пересечения плоскостей ABG и GDF.

б) Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами, проведёнными из этих плоскостей, к линии их пересечения.
△SCD (по свойству медианы):




△SBC (по свойству медианы):




△ABG = △ADG по трём сторонам (AG - общая, BG = DG = √3/2, AD = AB = 1)

Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AG.
Опустим перпендикуляр из точки D на прямую AG (DH⟂AG) и рассмотрим △ADG:











GD² = AG² + AD² -2·AG·AD·cos∠GAD
3/4 = 5/4 + 1 - 2·(√5/2)·1·cos∠GAD
cos∠GAD = (3√5)/10
cos∠GAD = AH/AD
AH = AD·cos∠GAD =(3√5)/10
DH² = AD² - AH² = 1 - 45/100 = 55/100
DH = √55/10
Так как △ABG = △ADG, то DH = BH = √55/10
∠(ABG; GDF) = ∠BHD - угол между плоскостями ABG и GDF
Рассмотрим △BHD и напишем для него теорему косинусов:
«D² = BH² + DH² -2·BH·DH·cos∠BHD
(√2)² = (√55/10)² + (√55/10)² -2·(√55/10)·(√55/10)·cos∠BHD
2 = 55/100 + 55/100 -2·(55/100)·cos∠BHD
2 = 11/20 + 11/20 - 11/10·cos∠BHD
2 = 11/10 - 11/10·cos∠BHD
cos∠BHD = -9/11
∠BHD = arccos(-9/11) = π - arccos(9/11)

Ответ: б) π - arccos(9/11)

Угол между плоскостями
Угол между плоскостями ЕГЭ 14
Угол между плоскостями егэ профиль № 14
ЕГЭ 14 Угол между плоскостями