ЕГЭ профиль № 11
Точка опоры

Найдите точку минимума функции y=x³+18x²+17 на отрезке [-3; 3].

Решение:

Напомним алгоритм поиска точки минимума/максимума функции:

1. Найти производную;

2. Приравнять ее к нулю и решить уравнение;

3. На числовой прямой расставить знаки производной с учетом ОДЗ;

4. Расставить стрелки, характеризующие поведение функции;

5. Точка максимума - переход с возрастания функции на убывание.
Точка минимума - переход с убывания функции на возрастание.

Итак, найдем производную:

y'=(x³+18x²+17)'=(x³)'+(18x²)'+(17)'=3x²+18(x²)'+0=3x²+18·2x=3x²+36x

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x²+36x=0

3x(x+12)=0

x=0 или x=-12

Расставим на числовой прямой знаки производной:

Схематично изобразим поведение функции: если функция возрастает, производная положительна; если функция убывает, производная отрицательна.

Максимум - переход с возрастания на убывание. Минимум - переход с убывания на возрастание.

Убедимся в том, что точка минимума принадлежит отрезку, указанному в условии задачи.

Ответ: 0