ЕГЭ профиль № 3
Тангенс угла

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен угол АОВ. Найдите тангенс этого угла.
тангенс угла задание 3
Решение:

Достроим ∠AOB до треугольника ∆AOВ:

тангенс угла
Найдем стороны ∆AOB:
тангенс угла , егэ ь№ 3
AB = 2

AO² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10 => AO = √10

OB² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18 => OB = √18


Запишем теорему косинусов для ∆AOB:

AB² = AO² + OB² - 2⋅AO⋅OB⋅cos∠AOB

2² = √10² + √18² - 2⋅√10⋅√18⋅cos∠AOB

4 = 10 + 18 - 2⋅√180⋅cos∠AOB

2⋅√180⋅cos∠AOB = 24

cos∠AOB = 12/√180


Найдем sin∠AOB из основного тригонометрического тождества:

sin²∠AOB + cos²∠AOB = 1

sin²∠AOB = 1 - cos²∠AOB

sin²∠AOB = 1 - (12/√180)²

sin²∠AOB = 1 - 144/180

sin²∠AOB = 36/180

sin∠AOB = 6/√180


Тогда tg∠AOB = sin∠AOB/cos∠AOB

tg∠AOB = (6/√180)/(12/√180) = 6/12 = 0,5


Ответ: 0,5