ЕГЭ профиль № 8
Задача с тремя сплавами
Задача с тремя сплавами
Имеется сплав массой 112 кг, состоящий из никеля, меди и марганца. Масса никеля составляет 40% массы меди и марганца, а масса меди составляет 60% массы никеля и марганца. Сколько килограммов марганца содержится в сплаве?
Решение:
Пусть x кг - масса никеля, y кг - масса меди и z кг - масса марганца.
Масса никеля составляет 40% массы меди и марганца, то есть x=0,4(y+z).
Масса меди составляет 60% массы никеля и марганца, то есть y=0,6(x+z)
Масса никеля, меди и марганца равна 112 кг, то есть x+y+z=112
Имеем:
x = 0,4y + 0,4z (1)
y = 0,6x + 0,6z (2)
x + y + z = 112 (3)
Подставим (1) в (2) и (3) уравнения:
x = 0,4y + 0,4z (1)
y = 0,6(0,4y + 0,4z) + 0,6z (2)
0,4y + 0,4z + y + z = 112 (3)
Раскроем скобки:
x = 0,4y + 0,4z (1)
y = 0,24y + 0,24z + 0,6z (2)
0,4y + 0,4z + y + z = 112 (3)
Приведем подобные слагаемые:
x = 0,4y + 0,4z (1)
0,76y - 0,84z = 0 (2)
1,4y + 1,4z = 112 (3)
Домножим (1) и (3) уравнения на 10, (2) уравнение на 100:
10x = 4y + 4z (1)
76y - 84z = 0 (2)
14y + 14z = 1120 (3)
Поделим (1) уравнение на 2, (2) уравнение на 4, (3) уравнение на 14:
5x = 2y + 2z (1)
19y - 21z = 0 (2)
y + z = 80 (3)
Домножим (3) уравнение на 2 и поменяем правую и левую части местами:
5x = 2y + 2z (1)
19y - 21z = 0 (2)
160 = 2y + 2z (3)
Вычтем из (1) уравнения (3), получим:
5x - 160 = 0
5x = 160
x = 32
Тогда:
x = 32 (1)
19y - 21z = 0 (2)
160 = 2y + 2z (3)
Поделим (3) уравнение на 2 и выразим у:
x = 32 (1)
19y - 21z = 0 (2)
y = 80 - z (3)
Подставим (3) во (2) уравнение:
x = 32 (1)
19(80 - z) - 21z = 0 (2)
y = 80 - z (3)
Раскроем скобки и отдельно решим (2) уравнение:
1520 - 19z - 21z = 0
40z = 1520
4z = 152
2z = 76
z = 38
Получим:
x = 32 (1)
z = 38 (2)
y = 80 - z (3)
Подставим z = 38 в (3) уравнение:
x = 32 (1)
z = 38 (2)
y = 42 (3)
Ответ: 38 кг
Решение:
Пусть x кг - масса никеля, y кг - масса меди и z кг - масса марганца.
Масса никеля составляет 40% массы меди и марганца, то есть x=0,4(y+z).
Масса меди составляет 60% массы никеля и марганца, то есть y=0,6(x+z)
Масса никеля, меди и марганца равна 112 кг, то есть x+y+z=112
Имеем:
x = 0,4y + 0,4z (1)
y = 0,6x + 0,6z (2)
x + y + z = 112 (3)
Подставим (1) в (2) и (3) уравнения:
x = 0,4y + 0,4z (1)
y = 0,6(0,4y + 0,4z) + 0,6z (2)
0,4y + 0,4z + y + z = 112 (3)
Раскроем скобки:
x = 0,4y + 0,4z (1)
y = 0,24y + 0,24z + 0,6z (2)
0,4y + 0,4z + y + z = 112 (3)
Приведем подобные слагаемые:
x = 0,4y + 0,4z (1)
0,76y - 0,84z = 0 (2)
1,4y + 1,4z = 112 (3)
Домножим (1) и (3) уравнения на 10, (2) уравнение на 100:
10x = 4y + 4z (1)
76y - 84z = 0 (2)
14y + 14z = 1120 (3)
Поделим (1) уравнение на 2, (2) уравнение на 4, (3) уравнение на 14:
5x = 2y + 2z (1)
19y - 21z = 0 (2)
y + z = 80 (3)
Домножим (3) уравнение на 2 и поменяем правую и левую части местами:
5x = 2y + 2z (1)
19y - 21z = 0 (2)
160 = 2y + 2z (3)
Вычтем из (1) уравнения (3), получим:
5x - 160 = 0
5x = 160
x = 32
Тогда:
x = 32 (1)
19y - 21z = 0 (2)
160 = 2y + 2z (3)
Поделим (3) уравнение на 2 и выразим у:
x = 32 (1)
19y - 21z = 0 (2)
y = 80 - z (3)
Подставим (3) во (2) уравнение:
x = 32 (1)
19(80 - z) - 21z = 0 (2)
y = 80 - z (3)
Раскроем скобки и отдельно решим (2) уравнение:
1520 - 19z - 21z = 0
40z = 1520
4z = 152
2z = 76
z = 38
Получим:
x = 32 (1)
z = 38 (2)
y = 80 - z (3)
Подставим z = 38 в (3) уравнение:
x = 32 (1)
z = 38 (2)
y = 42 (3)
Ответ: 38 кг