Задача с параметром.
Симметрия в решениях № 1

Задача № 1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

$\left\{\begin{matrix}5\cdot 2^{|x|}+6\cdot|x|+7=5y+6x^2+4a\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.$

Решение:

Заметим, что если пара чисел

$(x_0;y_0)$

решение системы, то пара чисел

$(-x_0;y_0)$

- также решение системы. Значит, если система имеет единственное решение, то это решение вида

$(0;y_0)$

, то есть

$x_0=0$

Подставим в систему вместо Х значение О . Имеем:

$\left\{\begin{matrix}4a=12-5y\\y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y=1\\a=\frac{7}{4}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y=-1\\a=\frac{17}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Сделаем проверку найденных значений параметра. 1) При

$a=\frac{17}{4}$

получаем систему:

$\left\{\begin{matrix}5\cdot 2^{|x|}+6\cdot|x|=5y+6x^2+10\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.$

Помимо решения (0;-1) система имеет решения (1;0) и (-1;0) , что не удовлетворяет условию задачи.

2) При

$a=\frac{7}{4}$

получаем систему:

$\left\{\begin{matrix}5\cdot 2^{|x|}+6\cdot|x|=5y+6x^2\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}5(2^{|x|}-y)+6(|x|-x^2)=0\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.$