ЕГЭ профиль № 16
Прямоугольник
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 75°. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150°.
а) Докажите, что углыBAP и POB равны.
б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP=6√3 иBP=4.
Решение:
а) ∠DOC = 180° - ∠D - ∠C = 180° - 75° - 75° = 30°
∠DOC = ∠AOB = 30° (вертикальные углы)
∠PAB + ∠PBA = 180°-∠P=180°-150°=30°
∠PAO+∠PBO = ∠PAB+∠PBA+∠OAB+∠OBA = 30°+75°+75°=180°
∠APB+∠AOB = 150°+30°=180°
Сумма противоположных углов четырехугольника ABCD равна 180°, значит вокруг него
можно описать окружность.
∠BAP и ∠POB опираются на дугу PB →∠BAP = ∠POB.
б) Пусть ∠BAP = ∠POB = х. Тогда ∠AOP = ∠COF = 30°-x.
В треугольнике ΔCOF∠CFO = 180°-∠FCO-∠COF = 180° - 75° - 30°+ x = 75°+ x
Тогда по теореме синусов для ΔCOF имеем:
Значит, необходимо найти sinx/cosx и сторону CO.
Теорема косинусов для ΔAPB:
AB²= AP² + PB² - 2⋅AP⋅PB⋅cos150° = 196 →AB = 14
Теорема синусов для ΔAPB:
а) Докажите, что углыBAP и POB равны.
б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP=6√3 иBP=4.
Решение:
а) ∠DOC = 180° - ∠D - ∠C = 180° - 75° - 75° = 30°
∠DOC = ∠AOB = 30° (вертикальные углы)
∠PAB + ∠PBA = 180°-∠P=180°-150°=30°
∠PAO+∠PBO = ∠PAB+∠PBA+∠OAB+∠OBA = 30°+75°+75°=180°
∠APB+∠AOB = 150°+30°=180°
Сумма противоположных углов четырехугольника ABCD равна 180°, значит вокруг него
можно описать окружность.
∠BAP и ∠POB опираются на дугу PB →∠BAP = ∠POB.
б) Пусть ∠BAP = ∠POB = х. Тогда ∠AOP = ∠COF = 30°-x.
В треугольнике ΔCOF∠CFO = 180°-∠FCO-∠COF = 180° - 75° - 30°+ x = 75°+ x
Тогда по теореме синусов для ΔCOF имеем:
Значит, необходимо найти sinx/cosx и сторону CO.
Теорема косинусов для ΔAPB:
AB²= AP² + PB² - 2⋅AP⋅PB⋅cos150° = 196 →AB = 14
Теорема синусов для ΔAPB:
