ЕГЭ профиль № 16
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника АВС отмечены точки M, N и K соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и BM=BN=KN/2. Тогда P - середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырехугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если BM=1 и ∠BCM=15°.
Решение:
а) Докажите, что четырехугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если BM=1 и ∠BCM=15°.
Решение:
а) Т.к. P - середина KN, то KP = PN.
Тогда BN = BM = KN/2 = KP = PN.
PMBN: PN || MB (по условию), PN = MB → PMBN - параллелограмм → PM = NB и PM || NB → PM || CB
△KCP: CP - медиана, проведённая из вершины прямого угла → CP = KP = PN
Тогда BN = BM = KN/2 = KP = PN.
PMBN: PN || MB (по условию), PN = MB → PMBN - параллелограмм → PM = NB и PM || NB → PM || CB
△KCP: CP - медиана, проведённая из вершины прямого угла → CP = KP = PN
BCPM: PM || CB, CP = MB → BCPM - равнобедренная трапеция.
б) ∠BCM = ∠CMP = 15° (как накрест лежащие при CB || PM и секущей CM)
∠CMP = ∠MCP = 15° (т.к. CP = PM → △CPM - равнобедренный треугольник)
∠CPM = 180° - ∠PCM - ∠CMP = 150°
∠PCB = ∠PCM + ∠MCB = 30°
∠CPN = ∠PNC = 30° (т.к. CP = PN → △CPN - равнобедренный треугольник)
∠PNC = ∠ ABC = 30° (как соответственные при KN || AB и секущей CB)
б) ∠BCM = ∠CMP = 15° (как накрест лежащие при CB || PM и секущей CM)
∠CMP = ∠MCP = 15° (т.к. CP = PM → △CPM - равнобедренный треугольник)
∠CPM = 180° - ∠PCM - ∠CMP = 150°
∠PCB = ∠PCM + ∠MCB = 30°
∠CPN = ∠PNC = 30° (т.к. CP = PN → △CPN - равнобедренный треугольник)
∠PNC = ∠ ABC = 30° (как соответственные при KN || AB и секущей CB)
△CPM: CM² = CP² + PM² -2·CP·PM·cos∠CPM = 1 + 1 - 2·1·1·cos150° = 2+√3
△CMB: CM² = BC² +BM² -2·BC·BM·cos∠ABC = BC² +1 -2·BC·1·(√3/2)
2+√3 = BC² +1 -2·BC·1·(√3/2)
BC² - √3BC - 1 - √3 = 0
D = (√3)² - 4·1·(-1-√3) = 7 + 4√3 = (2+√3)² → BC = 1+√3
△ABC: Пусть AB=2x
sinB = AC/AB
AC = AB·sinB = 2x·(1/2) = x
AB² = AC² + BC²
4x² = x² + (1+√3)²
3x² = (1+√3)²
(√3x+1+√3)·(√3x-1-√3) = 0
x = (1+√3)/√3
S = (ACBC)/2 = (1+√3)²/(2√3) = (2√3+3)/3
Ответ: б) (2√3+3)/3
△CMB: CM² = BC² +BM² -2·BC·BM·cos∠ABC = BC² +1 -2·BC·1·(√3/2)
2+√3 = BC² +1 -2·BC·1·(√3/2)
BC² - √3BC - 1 - √3 = 0
D = (√3)² - 4·1·(-1-√3) = 7 + 4√3 = (2+√3)² → BC = 1+√3
△ABC: Пусть AB=2x
sinB = AC/AB
AC = AB·sinB = 2x·(1/2) = x
AB² = AC² + BC²
4x² = x² + (1+√3)²
3x² = (1+√3)²
(√3x+1+√3)·(√3x-1-√3) = 0
x = (1+√3)/√3
S = (ACBC)/2 = (1+√3)²/(2√3) = (2√3+3)/3
Ответ: б) (2√3+3)/3