ЕГЭ профиль № 13
Правильная четырехугольная призма
Правильная четырехугольная призма
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 2√3, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах A1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что А1К = KD1, a DM:MD1=2:1.
а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.
Решение:
Правильная четырехугольная призма - это прямая призма, основанием которой служит квадрат.
Прямая призма - призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.
Решение:
Правильная четырехугольная призма - это прямая призма, основанием которой служит квадрат.
Прямая призма - призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
а) Так как D1M:MD = 1:2, то D1M = 1; MD = 2.
Так как A1K = KD1, то A1K = KD1 = √3.
Так как A1K = KD1, то A1K = KD1 = √3.
△BDC:BD² = BC² + CD²
BD² = (2√3)²+(2√3)²
BD² = 24
△A1B1B: A1B² = A1B1² + B1B²
A1B² = (2√3)²+3²
A1B² = 21
△KD1M: KM² = KD1² + D1M²
KM² = (√3)²+1²
KM² = 4
△BMD:BM² = BD² + MD²
BM² = 24+2²
BM² = 28
△A1KB: BK² = A1K² + A1B²
BK² = (√3)²+21
BK² = 24
Заметим, что для △KBM: BM² = KM² + BK².
Значит △KBM - прямоугольный. Тогда BM - гипотенуза и KM⊥BK.
б) Плоскости (BCC1) и (ADD1) параллельны, то есть (BCC1) || (ADD1). Тогда ∠(BMK; BCC1) = ∠(BMK; ADD1).
Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами, проведёнными к линии пересечения плоскостей.
Линия пересечения плоскостей (BMK) и (ADD1) -отрезок KM.
BK ⊥ KM. Пусть LK ⊥ KM. Тогда∠(BMK;ADD1) = ∠LKB = α
BD² = (2√3)²+(2√3)²
BD² = 24
△A1B1B: A1B² = A1B1² + B1B²
A1B² = (2√3)²+3²
A1B² = 21
△KD1M: KM² = KD1² + D1M²
KM² = (√3)²+1²
KM² = 4
△BMD:BM² = BD² + MD²
BM² = 24+2²
BM² = 28
△A1KB: BK² = A1K² + A1B²
BK² = (√3)²+21
BK² = 24
Заметим, что для △KBM: BM² = KM² + BK².
Значит △KBM - прямоугольный. Тогда BM - гипотенуза и KM⊥BK.
б) Плоскости (BCC1) и (ADD1) параллельны, то есть (BCC1) || (ADD1). Тогда ∠(BMK; BCC1) = ∠(BMK; ADD1).
Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами, проведёнными к линии пересечения плоскостей.
Линия пересечения плоскостей (BMK) и (ADD1) -отрезок KM.
BK ⊥ KM. Пусть LK ⊥ KM. Тогда∠(BMK;ADD1) = ∠LKB = α
Заметим, что в △KD1M: KM = 2·D1M. Тогда ∠MKD1 = 30° и ∠KMD1 = 60°.
△A1KL:∠A1KL = 180°-∠LKM-∠MKD1 = 180° - 90° - 30° = 60°. Тогда∠KA1L = 30°.
tg∠A1KL = tg60° = A1L/A1K → A1L = A1K·tg60° = √3·√3 = 3 → L = A и∠(BMK;ADD1) = ∠AKB = α
△A1KL:∠A1KL = 180°-∠LKM-∠MKD1 = 180° - 90° - 30° = 60°. Тогда∠KA1L = 30°.
tg∠A1KL = tg60° = A1L/A1K → A1L = A1K·tg60° = √3·√3 = 3 → L = A и∠(BMK;ADD1) = ∠AKB = α
AK² = AA1²+A1K² = 3²+(√3)² = 12 = (2√3)²
△KAB - прямоугольный: tgα = AB/AK = (2√3)/(2√3) = 1. Тогда∠(BMK;BCC1) =∠(BMK;ADD1) = α = 45°
Ответ: б) 45°
Ответ: б) 45°