ЕГЭ профиль № 13
Правильная треугольная пирамида

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник АВС со стороной 48. Все боковые ребра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK = FN = 10. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости АВС.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану АМ в отношении 1:3.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

Решение:

а) Точка О - точка пересечения медиан треугольника, тогда АО:МО = 2:1 → АО = 2·МО.

△KFN ~ △BFC ( KF:BF = NF:CF = 1:4, ∠F - общий ) → ∠KNF = ∠BCF (соответственные углы при прямых ВС и KN и секущей FC) → KN || BC → BC || α (если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости).

FN:NC = 1:3, FO || NL → OL:LC = 1:3 (теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки)

HL || MC → OH:HM = 1:3 (теорема Фалеса) → OH = HM/3

Рассмотрим отношение AH/HM:

AH/HM = (AO+OH)/HM = (2·MO+OH)/HM = (2·(OH+HM)+OH)/HM = (3·OH+2·HM)/HM = (HM+2·HM)/HM = 3 = 3/1 = 3:1

б) Так как BC || α, то расстояние от точки С до плоскости α равно расстоянию от точки М до плоскости α, т.е. ρ(С;α) = ρ(M;α). Плоскость α ⟂ (АВС), тогда ρ(С;α) = ρ(M;α) = HM = AM/4 (см.пункт а) ).

△ACM: AM² = AC² - CM² = 48² - 24² = 1728 → AM = 24√3

Тогда HM = AM/4 = 6√3

Ответ: б) 6√3