ЕГЭ профиль № 13
Правильная четырехугольная пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторонаABравна 8, а боковое ребро SAравно 7. На рёбрах ABи SBотмечены точки Mи Kсоответственно, причем АМ = 2, SK = 1. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABCи содержит точки Mи K.

а) Докажите, что плоскость α содержит точку С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCDплоскостью α.

Решение:

а) SO – высота пирамиды SABCD. Опустим из точки KперпендикулярKH на плоскость ABCD и рассмотрим Δ KBH и Δ SBO.

Δ KBH ~ Δ SBO по двум углам (∠В -, ∠BKH = ∠BSO (общие углы при KH || SO и секущей BS)). Значит, SK / KB = OH / HB → OH / HB = 1/6 = x / 6x, где х - одна часть.

Точка О - центр основания, т.е. БО = ДО = 7x.

Пусть прямая MHпересекает сторону ВС в точку F, сторону AD- в точке E. Рассмотрим Δ МАЕ и Δ MBF.

Δ МАЕ ~ Δ MBFпо двум углам (∠EMA = ∠FMB (как вертикальные), ∠MAE = ∠MBF = 90 °) → AM / MB = EA / FB = 2/6 = 1/3 = y / 3y, где у - одна часть.

Запишем теорему Менелая для ΔABD:

y = 8/3 →EA = y = 8/3 и BF = 3y = 8.

Но BC = 8 и BF = 8 →C = F→Плоскость α проходит через точку С.

б) Сечение пирамиды плоскостью α – ΔKMH.

Т.к. Δ KBH ~ Δ SBO, то KH = 6/7⋅SO

ΔSOB: SO² = SB² - OB² = 7² - (4√2)² = 17 → SO = √17 → KH = 6/7⋅√17

ΔCMB: CM² = BM² + BC² = 6² + 8² = 100 → CM = 10

Ответ: б) (30√17) / 7