ЕГЭ профиль № 16
Сечение пирамиды
Сечение пирамиды
Противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD с основанием ABCD попарно перпендикулярны. Через середины K и L ребер AB и AD соответственно и точку М проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости α, если АВ = 9.
Решение:
а) Докажите, что сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости α, если АВ = 9.
Решение:
а) Пусть F - середина CD
Так как противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD перпендикулярны, то MF⟂ML
Пирамида MABCD - правильная, значит проекция вершины M находится в центре основания (квадрата ABCD), то есть в точке О
Пусть AB = 2a, тогда AK = AL = a
△AKL: KL2 = AK2 + AL2 = a2 + a2 = 2a2 → KL = a√2
△MFL: MO⟂FL, MO - медиана, высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Отсюда получаем, что MO = FO = LO = a
△MOL: ML2 = MO2 + LO2 = a2 + a2 = 2a2 → ML = a√2
Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Так как треугольники равны, то равны и их медианы, то есть MF = ML = MK = a√2
Получаем, что KL = ML = MK = a√2 → △MKL - равносторонний треугольник → сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Расстояние от точки D до плоскости α является высотой пирамиды MDKL = ρ. Высоту пирамиды мы будем искать из объема пирамиды MDKL
Так как противоположные боковые грани правильной четырехугольной пирамиды MABCD перпендикулярны, то MF⟂ML
Пирамида MABCD - правильная, значит проекция вершины M находится в центре основания (квадрата ABCD), то есть в точке О
Пусть AB = 2a, тогда AK = AL = a
△AKL: KL2 = AK2 + AL2 = a2 + a2 = 2a2 → KL = a√2
△MFL: MO⟂FL, MO - медиана, высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Отсюда получаем, что MO = FO = LO = a
△MOL: ML2 = MO2 + LO2 = a2 + a2 = 2a2 → ML = a√2
Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Так как треугольники равны, то равны и их медианы, то есть MF = ML = MK = a√2
Получаем, что KL = ML = MK = a√2 → △MKL - равносторонний треугольник → сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Расстояние от точки D до плоскости α является высотой пирамиды MDKL = ρ. Высоту пирамиды мы будем искать из объема пирамиды MDKL
Рассмотрим пирамиду MABCD:
VMABCD = 1/3⋅SABCD⋅h = 1/3⋅AB⋅AD⋅MO = 1/3⋅9⋅9⋅4,5 = 243/2
Рассмотрим пирамиду MDKL:
VMDKL = 1/3⋅SDKL⋅h
Пирамида MDKL имеет с пирамидой MABCD общую высоту h = MO = 4,5
SDKL = 1/2⋅SDAL (медиана KL делит △DAL на два равновеликих треугольника) = 1/2⋅1/2⋅SFDAL = 1/2⋅1/2⋅1/2⋅SABCD = 1/8⋅SABCD = 1/8⋅AB⋅AD = 1/8⋅81 = 81/8 = 10,125
VMABCD = 1/3⋅SABCD⋅h = 1/3⋅AB⋅AD⋅MO = 1/3⋅9⋅9⋅4,5 = 243/2
Рассмотрим пирамиду MDKL:
VMDKL = 1/3⋅SDKL⋅h
Пирамида MDKL имеет с пирамидой MABCD общую высоту h = MO = 4,5
SDKL = 1/2⋅SDAL (медиана KL делит △DAL на два равновеликих треугольника) = 1/2⋅1/2⋅SFDAL = 1/2⋅1/2⋅1/2⋅SABCD = 1/8⋅SABCD = 1/8⋅AB⋅AD = 1/8⋅81 = 81/8 = 10,125
Получаем VMDKL = 1/3⋅SDKL⋅h = 1/3⋅10,125⋅4,5 = 243/16
Запишем объем пирамиды MDKL через расстояние от точки D до плоскости α:
VMDKL = 1/3⋅SMKL⋅ρ
Найдем площадь треугольника MKL:
SMKL = 1/2⋅KL⋅KM⋅sin60 = 1/2⋅(4,5√2) ⋅(4,5√2) ⋅(√3/2) = 10,125√3
Подставим известные значения в формулу VMDKL = 1/3⋅SMKL⋅ρ:
243/16 = 1/3⋅10,125√3⋅ρ
Найдем ρ:
ρ = 1,5√3
Ответ: б) 1,5√3
Запишем объем пирамиды MDKL через расстояние от точки D до плоскости α:
VMDKL = 1/3⋅SMKL⋅ρ
Найдем площадь треугольника MKL:
SMKL = 1/2⋅KL⋅KM⋅sin60 = 1/2⋅(4,5√2) ⋅(4,5√2) ⋅(√3/2) = 10,125√3
Подставим известные значения в формулу VMDKL = 1/3⋅SMKL⋅ρ:
243/16 = 1/3⋅10,125√3⋅ρ
Найдем ρ:
ρ = 1,5√3
Ответ: б) 1,5√3