Запишитесь на занятие
Заполните данные, и я свяжусь с Вами, чтобы назначить время занятия
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой обработки данных
Новостной блок онлайн-школы "Прорыв"

ЕГЭ профиль № 16 Четырёхугольник — параллелограмм

Четырёхугольник — параллелограмм
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 6 и AH = 2√5

Решение:
а) EH = AH, BH ⟂ AE → △ABE - равнобедренный → BE = AB → ∠BAE = ∠BEA
Аналогично △ADE - равнобедренный → AD = ED → ∠ADH = ∠EDH
Пусть ∠EDH = ∠ADH = х, тогда ◡BC = ◡AB = 2x (вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается)
∠CFA = 1/2◡ABC = 1/2(◡AB+◡BC) = 2x (вписанный угол)
∠CFA = ∠BEA = 2x (соответственные углы при секущей AF и прямых CF, BE)→ CF || BE
△CBD - прямоугольный треугольник → ∠BCD = 90-∠BDC = 90-x
△HED - прямоугольный треугольник→ ∠HED = 90-∠HDE = 90-x
∠HED = ∠BCD = 90-x (соответственные углы при секущей CD и прямых BC, AF) → BC || AF → BC || FE
Имеем:
BC || FE, CF || BE → BCFE - параллелограмм

б) △BHA: BH2 = AB2 - AH2 = 36 - 20 = 16 → BH = 4
По свойству пересекающихся хорд имеем:
BH⋅DH = AH⋅FH
BH⋅DH = AH⋅(FE+EH)
(FE = CB, так как BCFE - параллелограмм)
4⋅DH = 2√5⋅(6 + 2√5)
4⋅DH = 20 + 12√5
DH = 5 + 3√5

SABED = 1/2⋅AE⋅BD = 1/2⋅4√5⋅(5 + 3√5 + 4) = 2√5⋅(9 + 3√5) = 30 + 18√5
SBCFE = FE⋅BH = 6⋅4 = 24
SCBE = 1/2⋅SBCFE = 12
SABCD = SCBE + SABED = 12 + 30 + 18√5 = 42 + 18√5

Ответ: б) 42 + 18√5

Общее