Запишитесь на занятие
Заполните данные, и я свяжусь с Вами, чтобы назначить время занятия
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой обработки данных
Новостной блок онлайн-школы "Прорыв"

ЕГЭ профиль №16 Вписанная окружность

егэ профиль № 16, вписанная окружность
Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника AB1C1.
а) Докажите, что C1Q - биссектриса угла АС1В1.
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1С1, если известно, что ВС = 7. АВ = 15, АС = 20.

Решение:
а) Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Тогда АС1 = АВ1.
∆АС1F = ∆AB1F (по двум сторонам и углу между ними: AF - общая сторона, AC1 = AB1, ∠FAC1 = ∠FAB1 - по условию). Тогда С1F = B1F, то есть ∆QC1B1 - равнобедренный треугольник.
Угол, образованный касательнoй и хордой, проходящей через точку касания, равен половине величины дуги, заключенной между его сторонами:
Касательная - AC1
Хорда - QC1
Дуга, заключенная между касательной и хордой, - QC1
Тогда ∠QC1A = ◡QC1/2
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠QB1F = ◡QC1/2
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠QB1F = ∠QС1F
Получаем: ∠QB1F = ∠QС1F = ∠QC1A = ◡QC1/2 => QC1 - биссектриса угла AC1F.
б) Заметим, что AQ и C1F пересекаются в точке Q. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника, то есть в точке Q. Тогда расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1С1, равно отрезку OQ = r (где r - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС)
Вспомним формулу: S = pr (p - полупериметр треугольника). Отсюда получаем, что r = S/p
По формуле Герона находим площадь треугольника АВС:
S = 42
p = 21
r = S/p = 42/21 = 2

Ответ: б) 2

Общее