Запишитесь на занятие
Заполните данные, и я свяжусь с Вами, чтобы назначить время занятия
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой обработки данных
Новостной блок онлайн-школы "Прорыв"

ЕГЭ профиль №14 из сборника «36 вариантов ФИПИ» Ященко

егэ № 14
В пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причем DM: MA = DN: NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

Решение:

Правильная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
а) Проведем DO⟂(ABC).

AD⟂DB, AD⟂DC => AD⟂(DBC)=> AD⟂BC (т.к. ВС ∈ (DBC))
DO⟂(ABC) => DO⟂BC (т.к. ВС ∈ (ABC))
Т.к. DO⟂BC и AD⟂BC => BC⟂(ADO) => BC⟂AO (AO ∈ (ADO))
Аналогично BC⟂СO, BC⟂ВO. Тогда О — точка пересечения высот ∆АВС, т. е. О — центр ∆АВС и DABC — правильная пирамида.

б)

∆DMN~∆DAC (∠D — общий, DM: DA = DN: DC = 3:5) по углу и двум пропорциональным сторонам =>
MN/AC = DM/DA
MN/10 = 3/5
MN = 6

Т.к. DABC — правильная пирамида, то DA = DB = DC = 5x. Рассмотрим ∆DAB =>
AB2 = AD2 + BD2
102 = (5x)2 + (5x)2
100 = 50x2
x2 = 2
x = √2
Получаем, что DA = DB = DC =5√2, AM = 2√2, MD = 3√2.

∆ADB — равнобедренный и прямоугольный, тогда ∠DAB = ∠DBA = 45˚.

∆AMB: MB2 = AM2 + AB2 — 2⋅AM⋅AB⋅cos∠MAB
MB2 = (2√2)2 + 102 — 2⋅2√2⋅10⋅(√2/2)
MB2 = 8 + 100 — 40
MB2 = 68
MB = 2√17

Аналогично NB = 2√17

∆NBH: BH2 = NB2 — NH2
BH2 = (2√17)2 — 32
BH2 = 68 — 9
BH2 = 59
BH = √59

SMNB = ½⋅BH⋅NM = ½⋅√59⋅6 = 3√59

Ответ: б) 3√59

Общее