Запишитесь на занятие
Заполните данные, и я свяжусь с Вами, чтобы назначить время занятия
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой обработки данных
Новостной блок онлайн-школы "Прорыв"

ЕГЭ №19 Геометрическая прогрессия

ЕГЭ №19 Геометрическая прогрессия
Даны пять различных натуральных чисел. Известно, что их произведение равно 6750.
а) Могут ли все пять чисел образовывать геометрическую прогрессию?
б) Могут ли четыре числа их этих пяти образовывать геометрическую прогрессию?
в) Могут ли три числа из этих пяти образовывать геометрическую прогрессию?

Решение:
Разложим число 6750 на множители:
6750 = 2⋅27⋅125 = 21 ⋅ 33 ⋅53
а) Если все пять чисел образовывают геометрическую прогрессию, то:
1-е число: а
2-е число: ka, где k - знаменатель прогрессии (k≠1)
3-е число: k2a
4-е число: k3a
5-е число: k4a
Рассмотрим их произведение и попробуем решить уравнение в целых числах:
a⋅ka⋅k2a⋅k3a⋅k4a = 6750
a5⋅k10 = 21⋅33⋅53
Мы видим, что уравнение не имеет решений. Значит, пять чисел не могут образовывать геометрическую прогрессию.
б) Если четыре числа образовывают геометрическую прогрессию, то:
1-е число: а
2-е число: ka, где k - знаменатель прогрессии (k≠1)
3-е число: k2a
4-е число: k3a
5-е число: b
Рассмотрим их произведение и попробуем решить уравнение в целых числах:
a⋅ka⋅k2a⋅k3a⋅b = 6750
a4⋅k6⋅b1 = 21⋅33⋅53
Мы видим, что уравнение не имеет решений. Значит, четыре числа не могут образовывать геометрическую прогрессию.
в) Если три числа образовывают геометрическую прогрессию, то:
1-е число: а
2-е число: ka, где k - знаменатель прогрессии (k≠1)
3-е число: k2a
4-е число: c
5-е число: d
Рассмотрим их произведение и попробуем решить уравнение в целых числах:
a⋅ka⋅k2a⋅c⋅d = 6750
a3⋅k3⋅c1⋅d1 = 11⋅21⋅33⋅53
Уравнение имеет решения, если, например a = 5, k = 3, c = 1, d = 2. В таком случае получаем следующие числа:
1-е число: а = 5
2-е число: ka = 15
3-е число: k2a = 45
4-е число: c = 1
5-е число: d = 2
То есть 1, 2, 5, 15, 45
Или уравнение имеет решения, если, например a = 3, k = 5, c = 1, d = 2. В таком случае получаем следующие числа:
1-е число: а = 3
2-е число: ka = 15
3-е число: k2a = 75
4-е число: c = 1
5-е число: d = 2
То есть 1, 2, 3, 15, 75
Ответ: а) нет; б) нет; в) да. например 1, 2, 5, 15, 45

Общее