Задача с параметром.
Минимаксные задачи № 4

Задача № 4

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более трех различных решений.

$x^{10}+(a-2|x|)^{5}+x^2-2|x|+a=0$

Решение:

Запишем уравнение в виде

$x^{10}+x^2=(2|x|-a)^5+2|x|-a \Leftrightarrow f(x^2)=f(2|x|-a)$

, где

$f(t)=t^5+t$

Так как функция

$y=f(t)$

монотонно возрастает (сумма возрастающих функций

$y=t^5$

и y=t , то

$f(x^2)=f(2|x|-a)\Leftrightarrow x^2=2|x|-a\Leftrightarrow a= 2|x|-x^2$

В системе координат Oxa изобразим уравнение

$a=2|x|-x^2$

Уравнение

$a=2|x|-x^2$

имеет более трех различных решений при

Ответ:

$a\in(0;1)$