Задача с параметром.
Метод областей № 4

Задача № 4

Найдите все значения параметра а , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [4;8].

$\frac{(x-a-7)(x+a-2)}{\sqrt{10-x^2-a^2}}=0$

Решение:

Уравнение равносильно следующей системе:

$\left\{\begin{matrix}(x-a-7)(x+a-2)=0,\\10x-x^2-a^2>0\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=a+7,\\x=2-a\end{matrix}\right.,\\10x-x^2-a^2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=a+7,\\x=2-a\end{matrix}\right.,\\(x-5)^2+a^2<25\end{matrix}\right.$

Найдем значения параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [4;8].

Для этого найдем ординату точки пересечения прямых a=2-x и a=x-7 с прямой x=4. Найдем ординаты точек пересечения прямой a=2-x и окружности

$(x-5)^2+a^2=25$

$(2-a-5)^2+a^2=25\Rightarrow 2a^2+6a-16=0\Rightarrow a=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{2}$

Таким образом исходное уравнение имеет на отрезке [4;8] ровно один корень при

$a\in\left(\frac{-3-\sqrt{41}}{2};-3\right)\cup\{-2,5\}\cup(-2;1]$

Ответ:

$a\in\left(\frac{-3-\sqrt{41}}{2};-3\right)\cup\{-2,5\}\cup(-2;1]$

Задача с параметром. Метод областей № 4

Задача с параметром.
Метод областей № 4