Проект ЕГЭ 2027

Изменения в ЕГЭ по профильной математике в 2027 году

28 августа на официальном сайте fipi.ru был опубликован проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 года по математике.

В часть 1 добавлены задание 6, проверяющее умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, и задание 13 на проверку умения решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из области управления личными и семейными финансами.
В часть 2 добавлено задание 17 на проверку умения моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа, интерпретировать полученный результат; умение решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из других учебных предметов и задачи из реальной жизни.

Количество заданий увеличилось с 19 до 20, максимальный балл за выполнение всей работы увеличился с 32 до 33.

Переходим к разбору новых заданий проекта демонстрационного варианта ЕГЭ - 2027.

Математическое ожидание

Организаторы лотереи выпустили 10000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.Найдите математическое ожидание величины "выигрыш на один билет". Ответ дайте в рублях.

Выигрыш в рублях	100	1000	5000	10000	50000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Решение

Пусть случайная величина принимает значения x₁, x₂, ... x_n с вероятностями p₁, p₂, ... , p_n соответственно.

Математическим ожиданием случайной величины X называют число M(X)=x₁p₁+ x₂p₂+...+ x_np_n.

Найдем математическое ожидание величины "выигрыш на один билет":

M (X) = 100 \cdot 0,05 + 1000 \cdot 0,01 + 5000 \cdot 0,005 + 10000 \cdot 0,001 + 50000 \cdot 0,0001 = 5 + 10 + 25 + 10 + 5 = 55

Ответ: 55

Оптимизация

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

A = k θ_{0} \cdot \frac{τ^{2}}{\sqrt{{(T^{2} - τ^{2})}^{2} + n τ^{2} T^{2}}}

где k=0,91 - коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ₀=9° - угол наибольшего волнового склона, τ - период волны (в секундах), T=14,7 c - период свободных качаний корабля на тихой воде, n=0,0792 - коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Решение

Упростим подкоренное выражение знаменателя:

{(T^{2} - τ^{2})}^{2} + n τ^{2} T^{2} = T^{4} - 2 T^{2} τ^{2} + τ^{4} + n τ^{2} T^{2} = T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4}

Найдем производную функции:

A' (τ) = k θ_{0} \cdot {(\frac{τ^{2}}{\sqrt{T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4}}})}^{'} = k θ_{0} \cdot \frac{2 τ \cdot \sqrt{T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4}} - τ^{2} \cdot \frac{2 (n - 2) τ T^{2} + 4 τ^{3}}{2 \sqrt{T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4}}}}{T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4}}

После упрощения получаем:

A' (τ) = k θ_{0} \cdot \frac{2 τ T^{4} + (n - 2) T^{2} τ^{3}}{{(T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4})}^{\frac{3}{2}}} = k θ_{0} \cdot \frac{τ T^{2} (2 T^{2} + (n - 2) τ^{2})}{{(T^{4} + (n - 2) τ^{2} T^{2} + τ^{4})}^{\frac{3}{2}}}

Приравняем производную к нулю и подставим заданные значения k=0,91, θ₀=9°, T=14,7 и n=0,0792:

τ^{2} = \frac{2 T^{2}}{2 - n} = \frac{2 \cdot {14,7}^{2}}{2 - 0,0792} = 15^{2}

Так как τ>0, производная положительна при 0<τ<15 и отрицательна при τ>15. Значит, функция A(τ) возрастает при 0<τ≤15 и убывает при τ≥15. Тогда амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей при периоде волны τ=15 секунд.

Ответ: 15 секунд

ИЛИ

На заводе имеется генератор с ЭДС ε=50 В и внутренним сопротивлением r=1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \frac{ε}{r + R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля - Ленца: P=I²R . Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?

Решение

Выразим тепловую мощность P(R) через ЭДС и сопротивление:

P (R) = {(\frac{ε}{r + R})}^{2} \cdot R = \frac{ε^{2} R}{{(r + R)}^{2}}

Подставим заданные значения ε=50 В и r=1 Ом:

P (R) = \frac{2500 R}{{(1 + R)}^{2}}

Найдем производную функции:

P' (R) = {(\frac{2500 R}{{(1 + R)}^{2}})}^{'} = \frac{{(2500 R)}^{'} \cdot {(1 + R)}^{2} - {({(1 + R)}^{2})}^{'} \cdot 2500 R}{{({(1 + R)}^{2})}^{2}} = \frac{2500 - 2500 R^{2}}{{(1 + R)}^{4}}

Так как R>0, производная положительна при 0<R<1 и отрицательна при R>1. Значит, функция P(R) возрастает при 0<R≤1 и убывает при R≥1. Тогда функция P(R) достигает наибольшего значения в точке 1.

Наибольшая тепловая мощность:

P_{max} = P (1) = \frac{2500}{4} = 625

Ответ: 625 Вт

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2