Задача с параметром.
График модуля № 1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

$\sqrt{1-2x}=a-3|x|$

Решение:

Заметим, что при

$a<0$

уравнение не имеет решений, так как

$\sqrt{1-2x}\geq 0$

$a-3|x|<0$

Определим, для каких

$a\geq 0$

графики функции

$y=\sqrt{1-2x}$

$y=a-3|x|$

имеют более двух общих точек на области

$x\leq\frac{1}{2}$

При всех

$a\geq 1$

уравнение имеет хотя бы один корень, не превосходящий нуль.

$y=a-3|x|$

$0=a-\frac{3}{2}$

При

$1<a<\frac{3}{2}$

уравнение имеет два решения.

При

$\frac{3}{2}\leq a<m$

три решения, где m - значение a , которому соответствует точка касания графиков:

Найдем значение m , при котором происходит касание

$y=\sqrt{1-2x}$

$y=m-3x$

$\frac{-2}{2\sqrt{1-2x_0}}=-3$

$\sqrt{1-2x_0}=\frac{1}{3}$

$x_0=\frac{4}{9};y_0=\frac{1}{3};m=\frac{5}{3}$

Таким образом, при

$m=\frac{5}{3}$

- графики пересекаются в двух точках.

При

$m>\frac{5}{3}$

- 1 решение.

Значит,

$a\in\left[\frac{3}{2};\frac{5}{3}\right)$

- единственный промежуток, на котором уравнение имеет более двух решений (то есть три).

Ответ:

$a\in\left[\frac{3}{2};\frac{5}{3}\right)$