ЕГЭ профиль № 9
Функция. Новая задача 2
Функция. Новая задача 2
На рисунке изображены графики функций f(x)=ax²+bx+c и g(x)=kx+d, которые пересекаются в точках A и В. Найдите абсциссу точки B.
Решение:
f(x)=ax²+bx+c - квадратичная функция.
График - парабола, ветви которой направлены вверх, значит a>0.
с - свободный член, который отвечает за пересечение параболы с осью у, тогда с=-4.
Уравнение параболы с учетом коэффициента "с" выглядит следующим образом:
f(x)=ax²+bx-4
Подставим координаты точки (1;1) в уравнение параболы:
1 = a+b-4
Получим:
a+b = 5 (1)
Подставим координаты точки А(-2;-2) в уравнение параболы:
-2 = 4a-2b-4
Получим:
4a-2b = 2
Разделим обе части уравнения на 2:
2a-b = 1 (2)
Сложим (1) и (2):
3a = 6
a = 2
Подставим в (1) a = 2 и найдем b:
2+b = 5
b = 3
Получим следующее уравнение параболы:
f(x) =2x²+3x-4
g(x)=kx+d - линейная функция.
График - прямая.
Подставим координаты точки (-1;2) в уравнение прямой:
2 = -k+d
d = k+2 (3)
Подставим координаты точки А(-2;-2) в уравнение прямой:
-2 = -2k+d (4)
Подставим (3) в (4):
-2 = -2k+k+2
-2 = -k+2
k = 4
Тогда d = k+2 = 4+2 = 6.
Уравнение прямой с учетом коэффициентов "с" и "d" выглядит следующим образом:
g(x) = 4x+6.
Имеем следующее:
f(x) =2x²+3x-4,
g(x) = 4x+6.
Так как функции пересекаются, то f(x) = g(x):
2x²+3x-4 = 4x+6
2x²-x-10=0
D = (-1)² - 4·2·(-10) =1 + 80 = 81
x₁ = 2,5 - абсцисса точки В,
x₂ = -2 - абсцисса точки А.
Ответ: 2,5
f(x)=ax²+bx+c - квадратичная функция.
График - парабола, ветви которой направлены вверх, значит a>0.
с - свободный член, который отвечает за пересечение параболы с осью у, тогда с=-4.
Уравнение параболы с учетом коэффициента "с" выглядит следующим образом:
f(x)=ax²+bx-4
Подставим координаты точки (1;1) в уравнение параболы:
1 = a+b-4
Получим:
a+b = 5 (1)
Подставим координаты точки А(-2;-2) в уравнение параболы:
-2 = 4a-2b-4
Получим:
4a-2b = 2
Разделим обе части уравнения на 2:
2a-b = 1 (2)
Сложим (1) и (2):
3a = 6
a = 2
Подставим в (1) a = 2 и найдем b:
2+b = 5
b = 3
Получим следующее уравнение параболы:
f(x) =2x²+3x-4
g(x)=kx+d - линейная функция.
График - прямая.
Подставим координаты точки (-1;2) в уравнение прямой:
2 = -k+d
d = k+2 (3)
Подставим координаты точки А(-2;-2) в уравнение прямой:
-2 = -2k+d (4)
Подставим (3) в (4):
-2 = -2k+k+2
-2 = -k+2
k = 4
Тогда d = k+2 = 4+2 = 6.
Уравнение прямой с учетом коэффициентов "с" и "d" выглядит следующим образом:
g(x) = 4x+6.
Имеем следующее:
f(x) =2x²+3x-4,
g(x) = 4x+6.
Так как функции пересекаются, то f(x) = g(x):
2x²+3x-4 = 4x+6
2x²-x-10=0
D = (-1)² - 4·2·(-10) =1 + 80 = 81
x₁ = 2,5 - абсцисса точки В,
x₂ = -2 - абсцисса точки А.
Ответ: 2,5