ЕГЭ профиль № 11
Наименьшее значение функции

Найдите наименьшее значение функции y = e²ⁿ - 5eⁿ - 2 на отрезке [-2; 1].

Решение:

В предыдущих задачах мы уже рассматривали алгоритм поиска точки минимума/максимума функции. Напомним его еще раз:

Найти производную;
Приравнять ее к нулю и решить уравнение;
На числовой прямой расставить знаки производной с учетом ОДЗ;
Расставить стрелки, характеризующие поведение функции;
Точка максимума - переход с возрастания функции на убывание.Точка минимума - переход с убывания функции на возрастание.

Наименьшее значение функции - это значение функции в точке минимума, принадлежащей заданному отрезку.

Итак, найдем производную:

$y'=(e^{2n}-5e^{n}-2)'=(e^{2n})'-(5e^{n})'-2'=(2n)'{e^{2n}}-5(e^{n})'-0=2e^{2n}-5e^{n}$

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$2e^{2n}-5e^{n}=0$ $e^{n}(2e^{n}-5)=0$ $\left\[\begin{matrix} e^{n}=0\\ 2e^{n}-5=0 \end{matrix}\right. {\quad} {\Rightarrow } {\quad} e^{n}=\frac{5}{2} {\quad} {\Rightarrow } {\quad} n=log_{e}\frac{5}{2} {\quad} {\Rightarrow } {\quad}n= ln\frac{5}{2}$

Расставим на числовой прямой знаки производной:

Схематично изобразим поведение функции: если функция возрастает, производная положительна; если функция убывает, производная отрицательна.

Максимум - переход с возрастания на убывание. Минимум - переход с убывания на возрастание.

Убедимся в том, что точка минимума принадлежит отрезку, указанному в условии задачи:

Тогда наименьшее значение функции:

$y(ln\frac{5}{2})=e^{2\cdot{ln\frac{5}{2}}}-5e^{ln\frac{5}{2}}-2=e^{ln\left ( \frac{5}{2} \right )^2}-5\cdot{\frac{5}{2}}-2=\left ( \frac{5}{2} \right )^2-\frac{25}{2}-2=$ $=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}-2=\frac{25-50-8}{4}=-\frac{33}{4}=-8,25$

Ответ: -8,25

ЕГЭ профиль № 11Наименьшее значение функции

ЕГЭ профиль № 11
Наименьшее значение функции