ЕГЭ профиль № 19 из сборника
«36 вариантов ФИПИ Ященко»

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографироваться в течение 13 дней?
б) Могли ли они фотографироваться в течение 12 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?

Решение:

Так как m, n - число фотографий, сделанных Машей и Наташей в первый день, то m,n - целые числа.
а) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 13 дней.
Тогда общее число фотографий, сделанных Машей, равно (13m+78).
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно (13n+78).
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть (13n+78)-(13m+78)=1131
13n-13m=1131
n-m=87
n=m+87
Отсюда получаем, что девочки могли фотографироваться в течение 13 дней. Например, Маша в первый день сделала 1 фотографию, а Наташа (1+87)=88 фотографий.

б) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 12 дней.
Тогда общее число фотографий, сделанных Машей, равно (13m+78).
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно (13n+78).
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть (13n+78)-(13m+78)=1131
13n-13m=1131
n-m=87
n=m+87
Отсюда получаем, что девочки могли фотографироваться в течение 13 дней. Например, Маша в первый день сделала 1 фотографию, а Наташа (1+87)=88 фотографий.

б) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 12 дней.
Тогда общее число фотографий, сделанных Машей, равно.
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно
Известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий, то есть m+k-1<35 или m+k<36
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть
Отсюда получаем, что k - делитель числа 1131
Разложим число 1131 на множители: 1131 = 3⋅13⋅29


Пусть k = 3:

Тогда n = m+377 и m<33
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=32, n=32+377=409 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Пусть k = 13:
Тогда n = m+87 и m<23
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=22, n=22+87=109 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Пусть k = 29:
Тогда n = m+39 и m<7
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=6, n=6+39=45 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Получаем, что наибольшее суммарное число фотографий, которое могла сделать Наташа за все дни фотографирования, 1711.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1711