ЕГЭ профиль № 18 из сборника
«36 вариантов ФИПИ Ященко»
«36 вариантов ФИПИ Ященко»
Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографироваться в течение 13 дней?
б) Могли ли они фотографироваться в течение 12 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?
Решение:
Так как m, n - число фотографий, сделанных Машей и Наташей в первый день, то m,n - целые числа.
а) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 13 дней.
а) Могли ли они фотографироваться в течение 13 дней?
б) Могли ли они фотографироваться в течение 12 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?
Решение:
Так как m, n - число фотографий, сделанных Машей и Наташей в первый день, то m,n - целые числа.
а) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 13 дней.
Тогда общее число фотографий, сделанных Машей, равно (13m+78).
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно (13n+78).
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть (13n+78)-(13m+78)=1131
13n-13m=1131
n-m=87
n=m+87
Отсюда получаем, что девочки могли фотографироваться в течение 13 дней. Например, Маша в первый день сделала 1 фотографию, а Наташа (1+87)=88 фотографий.
б) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 12 дней.
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно (13n+78).
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть (13n+78)-(13m+78)=1131
13n-13m=1131
n-m=87
n=m+87
Отсюда получаем, что девочки могли фотографироваться в течение 13 дней. Например, Маша в первый день сделала 1 фотографию, а Наташа (1+87)=88 фотографий.
б) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 12 дней.
Тогда общее число фотографий, сделанных Машей, равно (13m+78).
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно (13n+78).
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть (13n+78)-(13m+78)=1131
13n-13m=1131
n-m=87
n=m+87
Отсюда получаем, что девочки могли фотографироваться в течение 13 дней. Например, Маша в первый день сделала 1 фотографию, а Наташа (1+87)=88 фотографий.
б) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 12 дней.
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно (13n+78).
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть (13n+78)-(13m+78)=1131
13n-13m=1131
n-m=87
n=m+87
Отсюда получаем, что девочки могли фотографироваться в течение 13 дней. Например, Маша в первый день сделала 1 фотографию, а Наташа (1+87)=88 фотографий.
б) Распишем, сколько фотографий сделала каждая из девочек в течение 12 дней.
Тогда общее число фотографий, сделанных Машей, равно.
Общее число фотографий, сделанных Наташей, равно
Известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий, то есть m+k-1<35 или m+k<36
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть
Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, то есть
Отсюда получаем, что k - делитель числа 1131
Разложим число 1131 на множители: 1131 = 3⋅13⋅29
Пусть k = 3:
Тогда n = m+377 и m<33
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=32, n=32+377=409 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Разложим число 1131 на множители: 1131 = 3⋅13⋅29
Пусть k = 3:
Тогда n = m+377 и m<33
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=32, n=32+377=409 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Пусть k = 13:
Тогда n = m+87 и m<23
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=22, n=22+87=109 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Тогда n = m+87 и m<23
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=22, n=22+87=109 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Пусть k = 29:
Тогда n = m+39 и m<7
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=6, n=6+39=45 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Тогда n = m+39 и m<7
Так как нам нужно, чтобы число фотографий было наибольшим, возьмем m=6, n=6+39=45 и найдем общее число фотографий, сделанных Наташей:
Получаем, что наибольшее суммарное число фотографий, которое могла сделать Наташа за все дни фотографирования, 1711.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1711
Ответ: а) да; б) нет; в) 1711