ЕГЭ профиль № 14 из сборника
«36 вариантов ФИПИ Ященко»

В пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причем DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

Решение:

Правильная пирамида - пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

а) Проведем DO⟂(ABC).
AD⟂DB, AD⟂DC => AD⟂(DBC)=> AD⟂BC (т.к. ВС ∈ (DBC))
DO⟂(ABC) => DO⟂BC (т.к. ВС ∈ (ABC) )
Т.к. DO⟂BC и AD⟂BC => BC⟂(ADO) => BC⟂AO (AO ∈ (ADO))
Аналогично BC⟂СO, BC⟂ВO. Тогда О - точка пересечения высот ∆АВС, т.е. О - центр ∆АВС и DABC - правильная пирамида.
∆DMN~∆DAC (∠D - общий, DM:DA = DN:DC = 3:5 ) по углу и двум пропорциональным сторонам =>
MN/AC = DM/DA
MN/10 = 3/5
MN = 6

Т.к. DABC - правильная пирамида, то DA = DB = DC = 5x. Рассмотрим ∆DAB =>
AB2 = AD2 + BD2
102 = (5x)2 + (5x)2
100 = 50x2
x2 = 2
x = √2
Получаем, что DA = DB = DC =5√2, AM = 2√2, MD = 3√2.

∆ADB - равнобедренный и прямоугольный, тогда ∠DAB = ∠DBA = 45˚.


∆AMB: MB2 = AM2 + AB2 - 2⋅AM⋅AB⋅cos∠MAB
MB2 = (2√2)2 + 102 - 2⋅2√2⋅10⋅(√2/2)
MB2 = 8 + 100 - 40
MB2 = 68
MB = 2√17


Аналогично NB = 2√17
∆NBH: BH2 = NB2 - NH2
BH2 = (2√17)2 - 32
BH2 = 68 - 9
BH2 = 59
BH = √59

SMNB = 1/2⋅BH⋅NM = 1/2⋅√59⋅6 = 3√59


Ответ: б) 3√59