ЕГЭ профиль № 12 ФИПИ Ященко Сборник

а) Решите уравнение

$\large 5 \cdot 4^{x^{2}+4x}+20 \cdot 10^{x^{2}+4x-1}-7 \cdot 25^{x^{2}+4x}=0$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3;1].

Решение:

а) Заметим, что

$\large 10^{x^{2}+4x-1} = \frac{10^{x^{2}+4x}}{10^1}=\frac{10^{x^{2}+4x}}{10}$

Перепишем уравнение в следующем виде:

$\large 5 \cdot 4^{x^{2}+4x}+\frac{20}{10} \cdot 10^{x^{2}+4x}-7 \cdot 25^{x^{2}+4x}=0$

$\large 5 \cdot 4^{x^{2}+4x}+2 \cdot 10^{x^{2}+4x}-7 \cdot 25^{x^{2}+4x}=0$

Поделим уравнение на

$\large 25^{x^{2}+4x} \neq 0$

Итак, имеем:

$\large 5 \cdot \frac{4^{x^{2}+4x}}{25^{x^{2}+4x} }+2 \cdot \frac{ 10^{x^{2}+4x}}{25^{x^{2}+4x}}-7 \cdot \frac{25^{x^{2}+4x}}{25^{x^{2}+4x} }=0$

В результате исходное равенство можно переписать в виде:

$\large 5 \cdot \frac{4^{x^{2}+4x}}{25^{x^{2}+4x}}+2 \cdot \frac{ 2^{x^{2}+4x}\cdot 5^{x^{2}+4x}}{5^{x^{2}+4x}\cdot 5^{x^{2}+4x}}-7=0$

Сократим вторую дробь:

$\large 5 \cdot \frac{4^{x^{2}+4x}}{25^{x^{2}+4x}}+2 \cdot \frac{ 2^{x^{2}+4x}}{5^{x^{2}+4x}}-7=0$

$\large 5 \cdot (\frac{4}{25})^{x^{2}+4x}+2 \cdot (\frac{2}{5})^{x^{2}+4x}-7=0$

Заметим, что:

$\large (\frac{4}{25})^{x^{2}+4x} = ((\frac{2}{5})^2)^{x^{2}+4x}$

Тогда мы можем переписать уравнение:

$\large 5 \cdot ((\frac{2}{5})^{x^{2}+4x})^{2} +2 \cdot (\frac{2}{5})^{x^{2}+4x}-7=0$

Введем замену:

$\large t = (\frac{2}{5})^{x^{2}+4x} > 0$

Получим следующее уравнение:

$\large 5 \cdot t^{2} +2 \cdot t-7=0$

Посчитаем дискриминант:

$\large D = 2^{2}-4\cdot5\cdot (-7)) = 4+140=144=12^{2}$

Найдем корни уравнения:

$\large t_{1}=\frac{-2+12}{10}=\frac{10}{10}=1$

$\large t_{2}=\frac{-2-12}{10}=\frac{-14}{10}=-1,4$

Корень t₂ нам не подходит, так как t > 0.

Сделаем обратную замену:

$\large (\frac{2}{5})^{x^{2}+4x} = 1$

Решим уравнение

$\large (\frac{2}{5})^{x^{2}+4x} = (\frac{2}{5})^{0}$

$\large x^{2}+4x = 0$

Вынесем общий множитель:

$\large x(x+4) = 0$

Так как произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, приравняем к нулю каждый из множителей и найдем корни уравнения:

$\large x_{1}=0; x_{2}=-4$

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-3;1]:

Ответ: а) -4; 0; б) 0