ЕГЭ профиль № 8
Сложная задача на движение

Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Когда первый пешеход прошел четверть пути от А до В, второму до середины пути оставалось пройти 1,5 км. Когда второй пешеход прошел половину пути от В до А, первый пешеход находился на расстоянии 2 км от второго. Найдите расстояние между А и В, если известно, что первый пешеход шел медленнее второго.

Решение:

Пусть весь путь равен 4S. Пусть скорость первого пешехода равна x км/ч, второго - y км/ч.

Когда первый пешеход прошел четверть пути: 4S/4 = S

Второму пешеходу до середины пути оставалось пройти 1,5 км: (2S-1,5)

Тогда время, которое затратил первый пешеход:

$t_{1}=\frac{S_{1}}{v_{1}}=\frac{S}{x}$

Время, которое затратил второй пешеход:

$t_{2}=\frac{S_{2}}{v_{2}}=\frac{2S-1,5}{y}$

Так как они вышли одновременно, можем приравнять время:

$\frac{S}{x}=\frac{2S-1,5}{y}$

Когда второй пешеход прошел половину пути от В до А: 2S

Первый пешеход находился на расстоянии 2 км от второго: (2S-2)

Тогда время, которое затратил первый пешеход:

$t_{1}=\frac{S_{1}}{v_{1}}=\frac{2S-2}{x}$

Время, которое затратил второй пешеход:

$t_{2}=\frac{S_{2}}{v_{2}}=\frac{2S}{y}$

Так как они вышли одновременно, можем приравнять время:

$\frac{2S-2}{x}=\frac{2S}{y}$

Получаем систему:

$\left\{\begin{matrix} \frac{S}{x}=\frac{2S-1,5}{y}\\ \frac{2S-2}{x}=\frac{2S}{y} \end{matrix}\right.$

Выразим из первого уравнения х и подставим во второе уравнение:

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{Sy}{2S-1,5}\\ \frac{(2S-2)(2S-1,5)}{Sy}=\frac{2S}{y} \end{matrix}\right.$

Отдельно решим второе уравнение:

2S²y = y(2S-2)(2S-1,5)

Сократим на y и раскроем скобки:

2S² = 4S²-3S-4S+3

Перенесем все в одну сторону и решим квадратное уравнение:

2S²-7S+3=0

D = b²-4ac = (-7)²-4·2·3 = 49 - 24 = 25 = 5²

S₁ = (7+5)/4 = 3 км

S₂ = (7-5)/4 = 2/4 = 0,5 км

S₂ не подходит по условию задачи.

Найдем весь путь:

4S = 12 км

Ответ: 12 км

ЕГЭ профиль № 8Сложная задача на движение

ЕГЭ профиль № 8
Сложная задача на движение