Экономическая задача на реальном
ЕГЭ по математике 2021 года
ЕГЭ по математике 2021 года
В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет.
Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года долг должен быть погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?
Решение:
Пусть S - сумма, взятая в банке в кредит
k₁ = 1,15 - повышающий коэффициент
k₂ = 1,11 - повышающий коэффициент
Так как кредит был взят в июле 2025 года, то в январе 2026 года на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит k₁S рублей
Известно, что долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. То есть после платежа долг равномерно уменьшался от S до 0 на одну и ту же величину в течение 8 лет. Получаем, что S/8 - сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа:
Июль 2026 года: S - S/8 = 7S/8
Июль 2027 года: 7S/8 - S/8 = 6S/8
…
Июль 2032 года: 2S/8 - S/8 = S/8
Июль 2033 года: S/8 - S/8 = 0
Получим следующее:
Долг в январе 2026 года: k₁S
Платеж по кредиту: k₁S - 7S/8
Долг в июле 2026 года: 7S/8
Долг в январе 2027 года: 7k₁S/8
Платеж по кредиту: 7k₁S/8 - 6S/8
Долг в июле 2027 года: 6S/8
Долг в январе 2029 года: 5k₁S/8
Платеж по кредиту: 5k₁S/8 - 4S/8
Долг в июле 2029 года: 4S/8
Долг в январе 2030 года: 4k₂S
Платеж по кредиту: 4k₂S - 3S/8
Долг в июле 2030 года: 3S/8
Долг в январе 2033 года: k₂S/8
Платеж по кредиту: k₂S/8
Долг в июле 2033 года: 0
Посчитаем общую сумму выплат:
k₁S(1+7/8+6/8+5/8) + k₂S(4/8+3/8+2/8+1/8) - S⋅(7/8+6/8+…+1/8+0)= 13k₁S/4 + 5k₂S/4 - 7S/2
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 650 тысяч рублей:
13⋅1,15⋅S/4 + 5⋅1,11⋅S/4 - 7S/2 = 650
14,95S + 5,55S - 14S = 2600
6,5S = 2600
S = 400 тысяч рублей
Ответ: 400 тысяч рублей
Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года долг должен быть погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?
Решение:
Пусть S - сумма, взятая в банке в кредит
k₁ = 1,15 - повышающий коэффициент
k₂ = 1,11 - повышающий коэффициент
Так как кредит был взят в июле 2025 года, то в январе 2026 года на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит k₁S рублей
Известно, что долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. То есть после платежа долг равномерно уменьшался от S до 0 на одну и ту же величину в течение 8 лет. Получаем, что S/8 - сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа:
Июль 2026 года: S - S/8 = 7S/8
Июль 2027 года: 7S/8 - S/8 = 6S/8
…
Июль 2032 года: 2S/8 - S/8 = S/8
Июль 2033 года: S/8 - S/8 = 0
Получим следующее:
Долг в январе 2026 года: k₁S
Платеж по кредиту: k₁S - 7S/8
Долг в июле 2026 года: 7S/8
Долг в январе 2027 года: 7k₁S/8
Платеж по кредиту: 7k₁S/8 - 6S/8
Долг в июле 2027 года: 6S/8
Долг в январе 2029 года: 5k₁S/8
Платеж по кредиту: 5k₁S/8 - 4S/8
Долг в июле 2029 года: 4S/8
Долг в январе 2030 года: 4k₂S
Платеж по кредиту: 4k₂S - 3S/8
Долг в июле 2030 года: 3S/8
Долг в январе 2033 года: k₂S/8
Платеж по кредиту: k₂S/8
Долг в июле 2033 года: 0
Посчитаем общую сумму выплат:
k₁S(1+7/8+6/8+5/8) + k₂S(4/8+3/8+2/8+1/8) - S⋅(7/8+6/8+…+1/8+0)= 13k₁S/4 + 5k₂S/4 - 7S/2
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 650 тысяч рублей:
13⋅1,15⋅S/4 + 5⋅1,11⋅S/4 - 7S/2 = 650
14,95S + 5,55S - 14S = 2600
6,5S = 2600
S = 400 тысяч рублей
Ответ: 400 тысяч рублей