Экономическая задача на реальном
ЕГЭ по математике 2021 года

В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет.
Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;

- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2033 года долг должен быть погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?


Решение:

Пусть S - сумма, взятая в банке в кредит

k₁ = 1,15 - повышающий коэффициент

k₂ = 1,11 - повышающий коэффициент


Так как кредит был взят в июле 2025 года, то в январе 2026 года на взятую сумму будут начислены проценты, тогда долг составит k₁S рублей


Известно, что долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. То есть после платежа долг равномерно уменьшался от S до 0 на одну и ту же величину в течение 8 лет. Получаем, что S/8 - сумма, на которую уменьшался долг после совершения платежа:


Июль 2026 года: S - S/8 = 7S/8

Июль 2027 года: 7S/8 - S/8 = 6S/8


Июль 2032 года: 2S/8 - S/8 = S/8

Июль 2033 года: S/8 - S/8 = 0


Получим следующее:


Долг в январе 2026 года: k₁S

Платеж по кредиту: k₁S - 7S/8

Долг в июле 2026 года: 7S/8


Долг в январе 2027 года: 7k₁S/8

Платеж по кредиту: 7k₁S/8 - 6S/8

Долг в июле 2027 года: 6S/8


Долг в январе 2029 года: 5k₁S/8

Платеж по кредиту: 5k₁S/8 - 4S/8

Долг в июле 2029 года: 4S/8


Долг в январе 2030 года: 4k₂S

Платеж по кредиту: 4k₂S - 3S/8

Долг в июле 2030 года: 3S/8


Долг в январе 2033 года: k₂S/8

Платеж по кредиту: k₂S/8

Долг в июле 2033 года: 0


Посчитаем общую сумму выплат:

k₁S(1+7/8+6/8+5/8) + k₂S(4/8+3/8+2/8+1/8) - S⋅(7/8+6/8+…+1/8+0)= 13k₁S/4 + 5k₂S/4 - 7S/2


Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 650 тысяч рублей:

13⋅1,15⋅S/4 + 5⋅1,11⋅S/4 - 7S/2 = 650

14,95S + 5,55S - 14S = 2600

6,5S = 2600

S = 400 тысяч рублей


Ответ: 400 тысяч рублей