ЕГЭ профиль № 13
Куб
Куб
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A₁ и D₁.
б) Найдите угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁
Решение:
а) Для начала соединим точки, лежащие в одной плоскости:
B и A₁ ; A₁ и D₁.
.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A₁ и D₁.
б) Найдите угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁
Решение:
а) Для начала соединим точки, лежащие в одной плоскости:
B и A₁ ; A₁ и D₁.
.
Вспомним, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым → A₁B || D₁C
.
.
И, наконец, соединим точки С и В.
.
.
Сечение построено.
б) Построим сечение куба плоскостью BA₁D₁: для этого просто соединим точки A₁, B и С₁.
б) Построим сечение куба плоскостью BA₁D₁: для этого просто соединим точки A₁, B и С₁.
Плоскости ВА₁С₁ и ВА₁D₁ пересекаются по прямой A₁B.
Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в этих плоскостях.
Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁C₁ из точки C₁ на прямую BA₁ : C₁H⟂BA₁
Пусть а - сторона куба, тогда A₁C₁ = C₁B = CD₁ = BA₁ = a√2 → △BA₁C₁ - равносторонний треугольник → HA₁ = HB
Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁D₁ из точки Н на прямую CD₁ : HK⟂CD₁ → KD₁ = CD (т.к. HA₁ = HB и A₁B || D₁C).
Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведёнными в этих плоскостях.
Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁C₁ из точки C₁ на прямую BA₁ : C₁H⟂BA₁
Пусть а - сторона куба, тогда A₁C₁ = C₁B = CD₁ = BA₁ = a√2 → △BA₁C₁ - равносторонний треугольник → HA₁ = HB
Опустим перпендикуляр в плоскости BA₁D₁ из точки Н на прямую CD₁ : HK⟂CD₁ → KD₁ = CD (т.к. HA₁ = HB и A₁B || D₁C).
Отсюда получаем, что угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁ - угол C₁HK: ∠(BA₁C₁; BA₁D₁) = ∠C₁HK
△BA₁C₁ :
sin∠C₁A₁H = C₁H/A₁C₁ ⇔ sin60° = C₁H/A₁C₁ ⇔ √3/2 = C₁H/(a√2) → C₁H = (a√6)/2
△C₁D₁C ( равнобедренный прямоугольный треугольник) :
sin∠C₁D₁K = C₁K/C₁D₁ ⇔ sin45° = C₁K/C₁D₁ ⇔ √2/2 = C₁K/a → C₁K = (a√2)/2
A₁D₁CB: A₁D₁ = HK = BC = a
Рассмотрим △С₁HK и запишем для него теорему косинусов:
C₁K² = C₁H² + KH² -2·C₁H·KH·cos∠C₁HK
0,5a² = 1,5a² + a² -2·(a√6/2)·a·cos∠C₁HK
0,5a² = 1,5a² + a² -a²√6·cos∠C₁HK
a²√6·cos∠C₁HK = 1,5a² + a² - 0,5a²
a²√6·cos∠C₁HK = 2a²
√6·cos∠C₁HK = 2
cos∠C₁HK = 2/√6
cos∠C₁HK = √6/3
⬇
∠C₁HK = ∠(BA₁C₁; BA₁D₁) = arccos(√6/3)
Ответ: б) arccos(√6/3)
sin∠C₁A₁H = C₁H/A₁C₁ ⇔ sin60° = C₁H/A₁C₁ ⇔ √3/2 = C₁H/(a√2) → C₁H = (a√6)/2
△C₁D₁C ( равнобедренный прямоугольный треугольник) :
sin∠C₁D₁K = C₁K/C₁D₁ ⇔ sin45° = C₁K/C₁D₁ ⇔ √2/2 = C₁K/a → C₁K = (a√2)/2
A₁D₁CB: A₁D₁ = HK = BC = a
Рассмотрим △С₁HK и запишем для него теорему косинусов:
C₁K² = C₁H² + KH² -2·C₁H·KH·cos∠C₁HK
0,5a² = 1,5a² + a² -2·(a√6/2)·a·cos∠C₁HK
0,5a² = 1,5a² + a² -a²√6·cos∠C₁HK
a²√6·cos∠C₁HK = 1,5a² + a² - 0,5a²
a²√6·cos∠C₁HK = 2a²
√6·cos∠C₁HK = 2
cos∠C₁HK = 2/√6
cos∠C₁HK = √6/3
⬇
∠C₁HK = ∠(BA₁C₁; BA₁D₁) = arccos(√6/3)
Ответ: б) arccos(√6/3)