ЕГЭ профиль № 18
Числа на доске 3
Числа на доске 3
На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, а среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение:
Пусть n - число чисел на доске, p - число положительных чисел, m - число отрицательных чисел и z - число нулей.
Пусть S 1 = 14 - среднее арифметическое всех положительных чисел, S+ - сумма всех положительных чисел. Тогда S1 = S+/p
Пусть S 2 = -7 - среднее арифметическое всех отрицательных чисел, S- - сумма всех отрицательных чисел. Тогда S2 = S-/m
Пусть S 3 = 5 - среднее арифметическое всех чисел, S - сумма всех чисел на доске. Тогда S3 = S/n
а) Заметимчто S = S+ + S-
n⋅S 3 = p⋅S1 + m⋅S2
5n = 14p - 7m
5n = 7(2p - m)
То есть n кратно 7. Единственное число, кратное 7, лежащее в интервале (35;49), это число 42. Тогда на доске записано 42 числа.
в) Так как 5n = 7(2p - m), то 5(p+m+z) = 7(2p - m)
5p + 5m + 5z = 14p - 7m
9p = 5z + 12m
Для того, чтобы число положительных чисел было наибольшим, число отрицательных чисел и число нулей должно стремиться к минимуму. Пусть z = 0.
Получаем 9p = 12m
3p = 4m (p кратно 4, m кратно 3)
m = 0,75p
Так как 35 < n < 49, то 35 < p + m < 49
35 < p + 0,75p < 49
35 < 1,75p < 49
3500 <175p < 4900
20 < p < 28
Так как p кратно 4, то p = 24 и m = 0,75p = 18
Наибольшее число положительных чисел - 24
б) Из пункта в) имеем: p = 24 и m = 18
p > m
То есть на доске написано больше положительных чисел
Ответ: а) 42; б) положительных; в) 24.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение:
Пусть n - число чисел на доске, p - число положительных чисел, m - число отрицательных чисел и z - число нулей.
Пусть S 1 = 14 - среднее арифметическое всех положительных чисел, S+ - сумма всех положительных чисел. Тогда S1 = S+/p
Пусть S 2 = -7 - среднее арифметическое всех отрицательных чисел, S- - сумма всех отрицательных чисел. Тогда S2 = S-/m
Пусть S 3 = 5 - среднее арифметическое всех чисел, S - сумма всех чисел на доске. Тогда S3 = S/n
а) Заметимчто S = S+ + S-
n⋅S 3 = p⋅S1 + m⋅S2
5n = 14p - 7m
5n = 7(2p - m)
То есть n кратно 7. Единственное число, кратное 7, лежащее в интервале (35;49), это число 42. Тогда на доске записано 42 числа.
в) Так как 5n = 7(2p - m), то 5(p+m+z) = 7(2p - m)
5p + 5m + 5z = 14p - 7m
9p = 5z + 12m
Для того, чтобы число положительных чисел было наибольшим, число отрицательных чисел и число нулей должно стремиться к минимуму. Пусть z = 0.
Получаем 9p = 12m
3p = 4m (p кратно 4, m кратно 3)
m = 0,75p
Так как 35 < n < 49, то 35 < p + m < 49
35 < p + 0,75p < 49
35 < 1,75p < 49
3500 <175p < 4900
20 < p < 28
Так как p кратно 4, то p = 24 и m = 0,75p = 18
Наибольшее число положительных чисел - 24
б) Из пункта в) имеем: p = 24 и m = 18
p > m
То есть на доске написано больше положительных чисел
Ответ: а) 42; б) положительных; в) 24.