ЕГЭ профиль № 19
Числа на доске 3

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, а среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение:

Пусть n - число чисел на доске, p - число положительных чисел, m - число отрицательных чисел и z - число нулей.

Пусть S1 = 14 - среднее арифметическое всех положительных чисел, S+ - сумма всех положительных чисел. Тогда S1 = S+/p

Пусть S2 = -7 - среднее арифметическое всех отрицательных чисел, S- - сумма всех отрицательных чисел. Тогда S2 = S-/m

Пусть S3 = 5 - среднее арифметическое всех чисел, S - сумма всех чисел на доске. Тогда S3 = S/n

а) Заметим что S = S+ + S-

n⋅S3 = p⋅S1 + m⋅S2

5n = 14p - 7m

5n = 7(2p - m)

То есть n кратно 7. Единственное число, кратное 7, лежащее в интервале (35;49), это число 42. Тогда на доске записано 42 числа.

в) Так как 5n = 7(2p - m), то 5(p+m+z) = 7(2p - m)

5p + 5m + 5z = 14p - 7m

9p = 5z + 12m

Для того, чтобы число положительных чисел было наибольшим, число отрицательных чисел и число нулей должно стремиться к минимуму. Пусть z = 0.

Получаем 9p = 12m

3p = 4m (p кратно 4, m кратно 3)

m = 0,75p

Так как 35 < n < 49, то 35 < p + m < 49

35 < p + 0,75p < 49

35 < 1,75p < 49

3500 <175p < 4900

20 < p < 28

Так как p кратно 4, то p = 24 и m = 0,75p = 18

Наибольшее число положительных чисел - 24

б) Из пункта в) имеем: p = 24 и m = 18

p > m

То есть на доске написано больше положительных чисел

Ответ: а) 42; б) положительных; в) 24