ЕГЭ профиль № 18
Числа на доске
Числа на доске
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Решение:
Пусть a<b<c<d<e<f<g<h<i<j<k - числа, написанные на доске
(a+b+c+d+e+f)/6 = 8 → (a+b+c+d+e+f) = 48
(e+f+g+h+i+j+k)/7 = 14 → (e+f+g+h+i+j+k) = 98
a) Пусть k = 16, тогда (e+f+g+h+i+j) = 98 - k = 98 - 16 = 82
Рассмотрим наибольшее значение суммы (e+f+g+h+i+j): (e+f+g+h+i+j) = 10+11+12+13+14+15 = 75. Но нам надо, чтобы (e+f+g+h+i+j) = 82. Отсюда следует, что k не может равняться 16.
б) (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)/11 = 10 → (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k) = 110
(a+b+c+d) = 48 - (e+f), так как (a+b+c+d+e+f) = 48
(g+h+i+j+k) = 98 - (e+f), так как (e+f+g+h+i+j+k) = 98
Тогда получаем:
(a+b+c+d)+e+f+(g+h+i+j+k) = 110
48-(e+f)+e+f+98-(e+f) = 110
146-(e+f) = 110
(e+f) = 36
Отсюда получаем, что (g+h+i+j+k) = 98 - (e+f) = 98-36 = 62
Рассмотрим минимальное значение f: f = 19
Тогда минимальное значение (g+h+i+j+k) = 20+21+22+23+24 = 110 → Среднее арифметическое всех одиннадцати чисел не может равняться 10.
в) Пусть S - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел, тогда
(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j) = 11S
146 - (e+f) = 11S → S будет принимать наименьшее значение тогда, когда (e+f) будет принимать наибольшее значение
Минимальное значение (a+b+c+d) = 1+2+3+4 = 10 → (e+f) < 39
Пусть (e+f) = 38, тогда (g+h+i+j+k) = 98-38 = 60
Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 21+22+23+24+25 = 115 → (e+f) не может равняться 38
Аналогичным образом перебираем все возможные значения...
Пусть (e+f) = 24, тогда (g+h+i+j+k) = 98-24 = 74
Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 14+15+16+17+18 = 80 → (e+f) не может равняться 24
Пусть (e+f) = 23, тогда (g+h+i+j+k) = 98-23 = 75
Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 13+14+15+16+17 = 75 → максимальное значение (e+f) = 23
Получаем:
11S = 146-(e+f)
11S = 146-23
11S = 123
S = 123/11
Ответ: а) нет; б) нет; в) 123/11
а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Решение:
Пусть a<b<c<d<e<f<g<h<i<j<k - числа, написанные на доске
(a+b+c+d+e+f)/6 = 8 → (a+b+c+d+e+f) = 48
(e+f+g+h+i+j+k)/7 = 14 → (e+f+g+h+i+j+k) = 98
a) Пусть k = 16, тогда (e+f+g+h+i+j) = 98 - k = 98 - 16 = 82
Рассмотрим наибольшее значение суммы (e+f+g+h+i+j): (e+f+g+h+i+j) = 10+11+12+13+14+15 = 75. Но нам надо, чтобы (e+f+g+h+i+j) = 82. Отсюда следует, что k не может равняться 16.
б) (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k)/11 = 10 → (a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k) = 110
(a+b+c+d) = 48 - (e+f), так как (a+b+c+d+e+f) = 48
(g+h+i+j+k) = 98 - (e+f), так как (e+f+g+h+i+j+k) = 98
Тогда получаем:
(a+b+c+d)+e+f+(g+h+i+j+k) = 110
48-(e+f)+e+f+98-(e+f) = 110
146-(e+f) = 110
(e+f) = 36
Отсюда получаем, что (g+h+i+j+k) = 98 - (e+f) = 98-36 = 62
Рассмотрим минимальное значение f: f = 19
Тогда минимальное значение (g+h+i+j+k) = 20+21+22+23+24 = 110 → Среднее арифметическое всех одиннадцати чисел не может равняться 10.
в) Пусть S - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел, тогда
(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j) = 11S
146 - (e+f) = 11S → S будет принимать наименьшее значение тогда, когда (e+f) будет принимать наибольшее значение
Минимальное значение (a+b+c+d) = 1+2+3+4 = 10 → (e+f) < 39
Пусть (e+f) = 38, тогда (g+h+i+j+k) = 98-38 = 60
Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 21+22+23+24+25 = 115 → (e+f) не может равняться 38
Аналогичным образом перебираем все возможные значения...
Пусть (e+f) = 24, тогда (g+h+i+j+k) = 98-24 = 74
Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 14+15+16+17+18 = 80 → (e+f) не может равняться 24
Пусть (e+f) = 23, тогда (g+h+i+j+k) = 98-23 = 75
Минимальное значение (g+h+i+j+k) = 13+14+15+16+17 = 75 → максимальное значение (e+f) = 23
Получаем:
11S = 146-(e+f)
11S = 146-23
11S = 123
S = 123/11
Ответ: а) нет; б) нет; в) 123/11