ЕГЭ профиль № 16
Четырехугольник + параллелограмм
Четырехугольник + параллелограмм
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность - в точке F, причем H - середина AE.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 6 и AH = 2√5
Решение:
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 6 и AH = 2√5
Решение:
а) EH = AH, BH ⟂ AE → △ ABE - равнобедренный → BE = AB → ∠BAE = ∠BEA
Аналогично △ ADE - равнобедренный → AD = ED → ∠ADH = ∠EDH
Пусть ∠EDH = ∠ADH = х, тогда ◡ BC = ◡AB = 2x (вписанный угол равенства дуги, на который он опирается)
∠CFA = 1 / 2◡ABC = 1/2 (◡AB + ◡BC) = 2x (вписанный угол)
∠CFA = ∠BEA = 2x ( соответственные углы при секущей AF и прямые CF, BE) → CF || BE
△ CBD - прямоугольный треугольник → ∠BCD = 90-∠BDC = 90-x
△ HED - прямоугольный треугольник → ∠HED = 90-∠HDE = 90-x
∠HED = ∠BCD = 90-x (соответственные углы при секущей CD и прямые BC, AF) → BC || AF → BC || FE
Имеем:
BC || FE, CF || BE → BCFE - параллелограмм
б) △ BHA: BH 2 = AB 2 - AH2 = 36 - 20 = 16 → BH = 4
По своемуству пересекающихся хорд имеют:
BH⋅DH = AH⋅FH
BH⋅DH = AH⋅ (FE + EH)
(FE = CB, так как BCFE - параллелограмм)
4⋅DH = 2√5⋅ (6 + 2√5)
4⋅DH = 20 + 12√5
DH = 5 + 3√5
S ABED = 1 / 2⋅AE⋅BD = 1 / 2⋅4√5⋅ (5 + 3 √5 + 4) = 2√5⋅ (9 + 3√5) = 30 + 18√5
S BCFE = FE⋅BH = 6⋅4 = 24
S CBE = 1 / 2⋅S BCFE = 12
S ABCD = S CBE + S ABED = 12 + 30 + 18√5 = 42 + 18√5
Ответ: б) 42 + 18√5
Аналогично △ ADE - равнобедренный → AD = ED → ∠ADH = ∠EDH
Пусть ∠EDH = ∠ADH = х, тогда ◡ BC = ◡AB = 2x (вписанный угол равенства дуги, на который он опирается)
∠CFA = 1 / 2◡ABC = 1/2 (◡AB + ◡BC) = 2x (вписанный угол)
∠CFA = ∠BEA = 2x ( соответственные углы при секущей AF и прямые CF, BE) → CF || BE
△ CBD - прямоугольный треугольник → ∠BCD = 90-∠BDC = 90-x
△ HED - прямоугольный треугольник → ∠HED = 90-∠HDE = 90-x
∠HED = ∠BCD = 90-x (соответственные углы при секущей CD и прямые BC, AF) → BC || AF → BC || FE
Имеем:
BC || FE, CF || BE → BCFE - параллелограмм
б) △ BHA: BH 2 = AB 2 - AH2 = 36 - 20 = 16 → BH = 4
По своемуству пересекающихся хорд имеют:
BH⋅DH = AH⋅FH
BH⋅DH = AH⋅ (FE + EH)
(FE = CB, так как BCFE - параллелограмм)
4⋅DH = 2√5⋅ (6 + 2√5)
4⋅DH = 20 + 12√5
DH = 5 + 3√5
S ABED = 1 / 2⋅AE⋅BD = 1 / 2⋅4√5⋅ (5 + 3 √5 + 4) = 2√5⋅ (9 + 3√5) = 30 + 18√5
S BCFE = FE⋅BH = 6⋅4 = 24
S CBE = 1 / 2⋅S BCFE = 12
S ABCD = S CBE + S ABED = 12 + 30 + 18√5 = 42 + 18√5
Ответ: б) 42 + 18√5