ЕГЭ профиль № 18
Автобусы
Автобусы
Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б - больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.
а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?
б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300?
в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.
Решение:
Пусть а и b - количество мест в автобусах А и Б, тогда:
40<a<50
50<b<60
Пусть n - количество автобусов модели Б. Тогда (n+1) - количество автобусов модели А.
Пусть S - количество детей. Тогда:
S=b·n=a·(n+1)
а) n=4 - количество автобусов модели Б
4b=5a → a=4b/5
Если b=55, то a=44 → Да, может.
б) S<300 - максимальное количество детей в группе
b·n=a·(n+1)<300
1) b·n<300 → n(max)<300/b(min) → n(max)<300/51
2) a·(n+1)<300 → n(max)+1<300/a(min) → n(max)<259/41
1)+2) → n(max)<300/51 → n(max) = 5
Пусть n=5, тогда 5b=6a → b=6a/5
Если a=45, то b=54. И наибольшее возможное количество детей в группе: S= b·n = 54·5 = 270
в) b·n=a·(n+1) → n=a/(b-a)→max
Количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min
a=49:
n=49/(b-49)
Если b=56, то n=7.
a=48:
n=48/(b-48)
Если b=51, то n=16.
a=47:
n=47/(b-47)
Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет.
a=46:
n=46/(b-46)
Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет.
a=45:
n=45/(b-45)
Если b=53, то n=9.
И так далее...
Так как количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min, то при a=48 и b=51 количество n автобусов моделей Б равно 16. Количество (n+1) автобусов моделей А равно 17.
Ответ: а) Да; б) 270; в) 17
а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?
б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300?
в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.
Решение:
Пусть а и b - количество мест в автобусах А и Б, тогда:
40<a<50
50<b<60
Пусть n - количество автобусов модели Б. Тогда (n+1) - количество автобусов модели А.
Пусть S - количество детей. Тогда:
S=b·n=a·(n+1)
а) n=4 - количество автобусов модели Б
4b=5a → a=4b/5
Если b=55, то a=44 → Да, может.
б) S<300 - максимальное количество детей в группе
b·n=a·(n+1)<300
1) b·n<300 → n(max)<300/b(min) → n(max)<300/51
2) a·(n+1)<300 → n(max)+1<300/a(min) → n(max)<259/41
1)+2) → n(max)<300/51 → n(max) = 5
Пусть n=5, тогда 5b=6a → b=6a/5
Если a=45, то b=54. И наибольшее возможное количество детей в группе: S= b·n = 54·5 = 270
в) b·n=a·(n+1) → n=a/(b-a)→max
Количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min
a=49:
n=49/(b-49)
Если b=56, то n=7.
a=48:
n=48/(b-48)
Если b=51, то n=16.
a=47:
n=47/(b-47)
Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет.
a=46:
n=46/(b-46)
Целых решений, удовлетворяющих условиям 40<a<50 и 50<b<60, нет.
a=45:
n=45/(b-45)
Если b=53, то n=9.
И так далее...
Так как количество автобусов n будет максимальным, если a→max и b→min, то при a=48 и b=51 количество n автобусов моделей Б равно 16. Количество (n+1) автобусов моделей А равно 17.
Ответ: а) Да; б) 270; в) 17