ЕГЭ профиль № 16
Площадь четырехугольника

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

Решение:

a) △BNO = △BCO по гипотенузе и катету (ВО - общая, ОС = ОN = r). Тогда ∠CBO = ∠NBO, ∠BOC = ∠BON.

Пусть ∠СBO =∠NBO = х, тогда ∠ВОС =∠BON = 90°-х.

∠MON = 180° - ∠BON - ∠BOC = 180° - (90°-x) - (90°-x) = 2x

△MON - равнобедренный треугольник (MO = NO = r): ∠NMO = ∠MNO = (180°-MON)/2 = (180°-2x)/2 = 90°-x

Получаем, что ∠NMO = ∠BOC = 90°-x (соответственные углы при секущей AC) → MN || BO

б) По условию AM:MC = 1:3 → AM = y, MC = 3y, где y - одна часть → MO = CO = 1,5y

По свойству секущей AN² = AM·AC = y·3y = 4y² → AN = 2y

△MNC - прямоугольный треугольник, так как одна из его сторон (МС) содержит центр окружности. Тогда cos∠MCN = NC/MC = 4/3y

△ANC: AN² = AC² + CN² -2·AC·CN·cos∠ACN

4y² = 16y² + 16 -2·4y·4·(4/3y)

y = √20/3

△AON: cos∠OAN = AN/AO = 2y/2,5y = 4/5

sin²∠OAN = 1 - cos²∠OAN → sin∠OAN = 3/5

S△AMN = 1/2·AM·AN·sin∠OAN = 4/3

△AMN~△AOB (∠A - общий, ∠AMN = ∠AOB - соответственные при MN || OB и секущей АС )

k - коэффициент подобия

k = AO/AM = (2,5y)/y = 2,5

S△AOB/S△AMN = k² = 6,25

S△AOB = k²·S△AMN = 25/3

Пусть S - площадь четырехугольника BOMN, тогда S = S△AOB - S△AMN = 25/3 - 4/3 = 21/3 = 7

Ответ: б) 7