ЕГЭ профиль № 16
Четырехугольник

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение:

а) Рассмотрим ∆АВС: ∠BAC=∠BCA (так как AB = BC)

Пусть ∠BAC = ∠ BCA = x˚

∠BCA = ∠BDA = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)

Аналогично ∠BAC = ∠BDC = x˚

∠BDC = DBC = x˚ (так как BC = DC)

∠DBC = ∠DAC = x˚ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны)

Получаем, что ∠CAD = ∠BCA = x˚. Отсюда следует, что BC || AD при секущей AC.

б) Рассмотрим ∆ABC и воспользуемся теоремой синусов:

BC/sin∠BAC = 2R

BC/sinx = 2R

12/sinx = 16

sinx = 12/16

sinx = 3/4

Для того, чтобы найти сторону AD, воспользуемся теоремой синусов для ∆ADC:

AD/sin∠ACD = 2R

AD/sin(180-3x) = 2R

AD/sin3x = 2R

Найдем sin3x = sin(x+2x) = sinxcos2x + sin2xcosx = sinxcos2x + 2sinxcos²x = sinx(cos2x + 2cos²x) = sinx(2сos²x - 1 + 2cos²x) = sinx(4cos²x - 1) = sinx(4(1-sin²x) - 1) = sinx(3-4sin²x) = 3sinx - 4sin³x = 3⋅3/4 - 4⋅(3/4)³ = 9/4 - 27/16 = 36/16 - 27/16 = 9/16

Подставляем найденное значение sin3x в выражение AD/sin3x = 2R:

16AD/9 = 16

16AD = 144

AD = 9

Ответ: б) 9